Question

数学函数！！！！

已知函数F(X)=1/（1-X）^N+aln(X-1)，其中n∈N*，a为常数
（1）当n=2时，求函数F(X)的极值
（2）当a=1时，证明：对任意的正整数n，当X>=2时，有F(X)<=X-1

Answer 1

当a=1时有f(x)=1/((1-x)^n)+ln(x-1),
要证对任意正整数n 当x>=2时有f(x)<=x-1
因为1/((1-x)^n)是单减函数，所以只需证明1/(1-x)+ln(x-1)<=x-1
令y=x-1，y>=1
只需证明1/y+lny<=y
两边做差令z=y-1/y-lny
求导，得到z'=1+1/y^2-1/y
再换元令t=1/t,0<t<1
则z'=t^2-t+1,在（0，1）范围内z'>0
所以函数z=y-1/y-lny是单调递增的
令y=1，得到z=0
所以当y>=1时，z>=0
即1/y+lny<=y
也就证明上式！