Question

请教 一 高数问题，要详细过程

F(x)为f(x)的原函数，且当x>=0时f(x)*F(x)=xe^x/(2*(1+x)^2),已知F(0)=1,F(x)>0,求f(x)

Answer 1

解：
由已知有 F'(x)=f(x)
∴ ∫f(x)*F(x)dx = ∫F(x)F'(x)dx = ∫F(x)d(F(x)) = 1/2·F(x)² + C
另一方面，
∫f(x)*F(x)dx = ∫xe^x/[2(1+x)²]dx
= 1/2·[-1/(1+x)]·xe^x + 1/2∫1/(1+x)·e^x(x+1)dx
= 1/2·[-1/(1+x)]·xe^x + 1/2∫e^xdx
= 1/2·[-1/(1+x)]·xe^x + 1/2·e^x + C
= 1/2·e^x/(1+x) + C
∴ 1/2·F(x)² = 1/2·e^x/(1+x) + C
∵ F(0)=1,F(x)>0
∴ F(x) = √[e^x/(1+x)]
∴ f(x) = xe^x/[2(1+x)²]/F(x) = 1/2·xe^(x/2)·(1+x)^(-3/2)