Question

高中数学基本不等式题目 根号（a的平方+1/a的平方）-根号2>=a+1/a-2

Answer 1

本体证明如下：

Answer 2

解：
√(a²+1/a²) - √2 ≥ a+1/a - 2

首先，a=1时两边相等；a＜0时，左边为正，右边为负，不等式显然成立；
a≠1，且a＞0时，两边都为正,可去掉等号来证明。

√(a²+1/a²) - √2 ＞ a+1/a - 2

a²+1/a² - 2
------------------- ＞ a+1/a - 2
√(a²+1/a²) + √2

a²+1/a² - 2
--------------------- ＞ √(a²+1/a²) + √2
a+1/a - 2

a^4 - 2a² + 1
------------------------ ＞ √(a²+1/a²) + √2
a(a² - 2a + 1)

(a²-1)²
---------------------- ＞ √(a²+1/a²) + √2
a(a-1)²

(a+1)²
------------------ ＞ √(a²+1/a²) + √2
a

a + 1/a + 2 ＞ √(a²+1/a²) + √2

到了这一步，由于 (a+1/a)²＞a²+1/a² , 得 a+1/a＞√(a²+1/a²);
又 2＞√2
∴ 最后一步显然成立，得证。