Question

已知∠BAC在平面α内，P不属于α，∠PAB=∠PAC. 求证：点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上

已知∠BAC在平面α内，P不属于α，∠PAB=∠PAC.

求证：点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上

Answer 1

证明：
连接PA,从P点做出一条线段PB1垂直于直线AB并相交于点B1，再做一条线段PC1垂直于直线AC并相交于点C1.
∵∠PAB=∠PAC，即∠PAB1=∠PAC1。∴∠APB1=∠APC1
又∵有共同边PA，∴PB1=PC1，AB1=AC1
再由点P做一条射线与平面α线交于点P1。
此时∵∠PP1B1=∠PP1C1=90°，PB1=PC1，又有共同边PP1
∴可得P1B1=P1C1
又∵在△AB1P1和△AC1P1中
AB1=AC1，共同边AP1
∴∠P1AB1=∠P1AC1，即点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上