Question

高手们帮忙解一道题！

(a²+1)的n次方展开式各项系数和等于[11x²／5 +（1／x）½]的5次方的常数项
(a²+1)的n次方的二项式系数的最大项是54
求a的值

Answer 1

首先要知道二项式定理
(a+b)^n＝C(n,0)*a^n+C(n,1)*a^n-1*b^1+…+C(n,r)*a^(n-r)*b^r+…+C(n,n)*b^n(n∈N*)
系数和=2^n

故[11x²／5 +（1／x）^(1/2)]^5可以变形为标准二项式[(√11x/√5)^2+x^(-1/2)]^5，通项式为C(5,r)*(√11x/√5)^(10-2r)*x^(-r/2)
故当10-2r-r/2=0，即r=4时，取得常数项，将r=4代入，得上式常数项C(5,4)*(√11x/√5)^2=11

而根据题意2^n=11，显然解不出来。

楼主可能敲错了数字，比如是[16x²／5 +（1／x）½]^5

这样就有2^n=16
解出n=4

而(a^2+1)^4=a^8+4a^6+6a^4+4a^2+1
显然6a^4=54
解得a=±√3

Answer 2

解：这需要用到杨辉三角形的知识，
杨辉三角：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
每一行带表第n-1次二项式中，各个的展开式的系数
比如五次方的各项系数为
1 5 10 10 5 1
即：（a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5
更多的看参考资料

[11x²／5 +（1／x）½]^5的常数项为：
5*11x²／5 *[（1／x）½]^4 = 11

所以各项系数和为11
但是没有一个二项式的展开式各项系数和是11。。。