Question

当x∈(0,π/4)时，求函数f(x)=cos^2x/(cosx sinx-sin^2x)的最小值

到底哪个对啊..第二个我看不明白啊...

Answer 1

解：

f(x)

=cos²x/(cosxsinx-sin²x)

显然cosx≠0

分子分母同时除以cos²x得

f(x)

=1/(tanx-tan²x)

设t=tanx，∵x∈(0,π/4),∴t=tanx∈(0，1）

即求f(t)=1/(t-t²)在t∈(0,1)时的最小值

令g(t)=-t²+t=-(t-½)²+¼

在t∈(0，1）时，g(t)恒为正，且在t=½时取得最大值

∴f(t)=1/g(t)在t=½处取得最小值，

即f(t)的最小值为4

即f(x)在所给范围的的最小值是4

谢谢

Answer 2

f(x)=cos2x/(cosxsinx-sin2x)
=cos2x/[(1/2)sin2x-sin2x]
=cos2x/[-(1/2)sin2x]
=-2cot2x
x∈(0,π/4),2x∈(0,π/2)，
所以cot2x∈(0,+∞）
故f(x)∈(-∞，0)没有最小值

Answer 3

f(x)=cos(2x)/(cosxsinx-sin(2x))
=-(cosx-sinx)/(cosxsinx)
=-sqrt(((cosx-sinx)^2)/(cosxsinx)^2)
=-sqrt((1-2sinxcosx)/(cosxsinx)^2)
=-sqrt(4(1-sin2x)/sin2x^2) 设sin2x=t 0<t<1
=-sqrt(4(1-t)/t^2) 设m=(1/t) m>1
=-sqrt(4(m^2-m))
上式根式下为一个二次函数，且对称轴为m=1，故此函数不会有最小值，只会无限趋于负无穷，也没有最大值，最大无限趋近于-1