Question

已知函数f(x)=x的2次方-2alnx,其中a为正的常数.

已知函数f(x)=x的2次方-2alnx,其中a为正的常数.20分(1)当a=1时,求f(x)的单调递减区间;(2)试判断函数y=f(x)的零点个数;(3)设G(x)=f(x)+m,若当x属于[1/e,e]时,函数G(x)的图像恒在x轴的上方,求实数m的取值范围.

Answer 1

(1)
a=1 （定义域x>0）

f(x)=x²-2㏑x

所以f'(x)=2x-2/x

求f(x)的单调递减区间 即f'(x)<0

求得x>0时 -1<x<1 即 0<x<1
x<0时不存在 定义域x>0

综上所述 0<x<1

(2)
f'(x)=2x-2a/x

令f'(x)=0
则x=±√a

所以函数在（√a，＋∞）单调递增 在（0，√a）单调递减

当x=√a时，f(x)=a-2a㏑√a

若a>e则f(x)<0 则函数有两个零点
若a=e则f(x)=0 则函数有一个零点
若a<e则f(x)>0 则函数有零个零点

(3)

√a<1/e时 1/e²-2a㏑1/e+m>0 即 m≥-1/e²
√a>e时 e²-2a㏑e+m>0 即 m=∞
1/e≤x≤e时 a-2a㏑√a+m>0 即 m>e²