Question

若不等式ax^2+bx+c>0的解集为{x|α<x<β}(0<α<β),求不等式cx^2+bx+a<0的解集

我知道过程 但想问一下
如何知道下面a<0 还有b c 这些的 请给我一个详细的原因 谢谢！！
由不等式ax^2+bx+c>0的解集为α<X<β可知道
ax^2+bx+c=a(X-α)(X-β),且a<0
所以b=-a(α+β),c=aαβ
所以cx^2+bx+a=aαβx^2-a(α+β)x+a=a(αx-1)(βx-1)
故cx^2+bx+a>0的解集等价于a(αx-1)(βx-1)>0的解集
又a<0，0<1/β<1/α,求得解集为1/β<X<1/α

Answer 1

由不等式ax^2+bx+c>0的解集为α<X<β可知道
ax^2+bx+c=a(X-α)(X-β),且a<0
所以b=-a(α+β),c=aαβ
所以cx^2+bx+a=aαβx^2-a(α+β)x+a=a(αx-1)(βx-1)
故cx^2+bx+a>0的解集等价于a(αx-1)(βx-1)>0的解集
又a<0，0<1/β<1/α,求得解集为1/β<X<1/α

把y=ax^2+bx+c抛物线在x轴上方的点的x取值是α<X<β，即抛物线开口向下，所以a<0

b=-a(α+β),c=aαβ，根据ax^2+bx+c=a(X-α)(X-β)等式右边展开得出B，C

然后把用α、β表示的B,C代入cx^2+bx+a中cx^2+bx+a=aαβx^2-a(α+β)x+a=a(αx-1)(βx-1)

其他的就好解释了

Answer 2

如何知道下面a<0:由不等式ax^2+bx+c>0的解集为α<X<β可知道
ax^2+bx+c=a(X-α)(X-β),且a<0(因为若a>0则解区间必为两个无穷区间的并集或者R全集，只有a<0才能使解在两根之间)

Answer 3

你可以画一个a<0的图像 所得的x在两根之间

Answer 4

A