Question

已知f(x)的定义域为{x∈R|x≠k/2 ,k∈z ,且f((x)+f(2-x)=0,f(x+1)=-1/f(x)当0<x<1/2时,f(x)=3^x 1)求证f(x

已知f(x)的定义域为{x∈R|x≠k/2 ,k∈z ,且f((x)+f(2-x)=0,f(x+1)=-1/f(x)当0<x<1/2时,f(x)=3^x
1)求证f(x)是奇函数
2）求f(x)在区间（2k+1/2,2k+1）(k∈z)上的解析式
3）是否存在正整数k,使得当x∈(2k+1/2,2k+1)时，不等式log3为底f(x)>x^2-kx-2k有解？证明你的结论

Answer 1

解析：
1)由f(x+1)=-1/f(x)得 f(x+2)=f(x)则f(x) 是周期为2的函数，又由于f(x)+f(2-x)=0，得f(2-x)=-f(x)带入周期得，f(-x)=-f(x)，因此f(x)是奇函数。
2)f(x)在区间（2k+1/2,2k+1）(k∈z)上的解析式相当于f(x)在区间（1/2,1）上的解析式；当0<x<1/2时,f(x)=3^x，f(x)是奇函数得-1/2<x<0时,f(x)=-3^(-x),再由f(x+1)=-1/f(x)得于f(x)在区间（1/2,1）上的解析式为f(x)=3^x。
3）题化为x>x^2-kx-2k则x^2-（k-1）x-2k<0（-（k-1））^2-4*2k>0,因此不等式log3为底f(x)>x^2-kx-2k有解。