Question

已知二次函数y=ax^2+2bx+c,其中a>b>c且a+b+c=0

已知二次函数y=ax^2+2bx+c,其中a>b>c且a+b+c=0
1）求证：此函数的图像与x轴交于相异的两点
2）设函数图象截x轴所得的线段的长为l，求证：根号3<l<2根号3

Answer 1

答：1).因为a+b+c=0 ，所以y=ax^2+2bx+c＝ax^2 +2bx -a-b 因为△＝4b^2 -4a(-a-b)=4b^2 +4a^2+4ab=(2a+b)^2 +3b^＞0 所以函数的图像与x轴交与相异的两个点 (2).设m、n是方程ax^2 +2bx -a-b=0的两根，则m+n=- 2b/a ,mn=-(a+b)/a 因为l^2 = (m-n)^2 =(m+n)^2-4mn= (4b^2 +4a^2+4ab)/a^2 所以4b^2 + 4ab+4a^2- (al)^2=0 因为△＝16a^2 - 16(4a^2 -a^2*l^2)＞0 所以l^2＞3 ,所以l＞√3 又因为l^2 =(4b^2 +4a^2+4ab)/a^2 ＝4*(b/a)^2 +4 + 4*(b/a)＜4+4+4 =12 所以 l< 2√3 综上：√3< l< 2√3