Question

数学高手快快快进！！！！！！

已知函数f（x）=2mx²-2（4-m）x+1，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为正数，则实数m的取值范围是？
麻烦写一下详细过程

Answer 1

若m=0
则g(x)=0
则f(x)恒大于0
f(x)=-8x+1,不成立

若m<0
g(x)=mx
x<0则g(x)>0
所以只要x>=0时f(x)恒大于0
2m<0,开口向下
所以对称轴右边是减函数
显然不可能x>=0时，函数值恒大于0

m>0
则x<=0时g(x)<=0
所以此时f(x)恒大于0
对称轴x=(4-m)/2m
若0<m<4,则对称轴为负
对称轴右边递增
所以只要f(0)>0即可
而f(0)=1,成立

若m>=4,此时对称轴是y轴或y轴右边
所以x=(4-m)/2m时,f(x)最小
所以f[(4-m)/2m]>0
所以2<m<8
所以4<=m<8

综上
0<m<8

Answer 2

显然m=0不合题意。
m≠0时g(x)的值域是R,
∴对任意实数x，f（x）与g（x）至少有一个为正数,只能m>0,
∴(4-m)^2-2m<0,①
或x<=0,f(x)>0.②
由①得2<m<8,
由②，（4-m)/(2m)>0,f(0)=1>0,∴0<m<4.
求两者的并集，得0<m<8,为所求。

Answer 3

因为f（x）=2mx²-2（4-m）x+1
所以m=0不合题意。
m≠0时g(x)的值域是R,
所以对任意实数x，f（x）与g（x）至少有一个为正数,只能m>0,
所以（4-m)^2-2m<0,① 或x<=0,f(x)>0.②
而由①得2<m<8,
由②，（4-m)/(2m)>0,f(0)=1>0,
所以0<m<4.
得0<m<8。