Question

一道数学题！高分悬赏

已知平面区域x>=0,y>=0,x+2y-4<=0恰好被面积最小的圆C:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2及其内部所覆盖。试求圆C的方程
为什么它们的中点P(2,1)

Answer 1

这个题目标准做法我认为是
1.找到这个平面区域：为三角形，且顶点已知为（0，0）、（0，2）、（4，0）
2.要求原面积最小 即是在求半径最小的圆。
3.半径最小的圆就是说 找到一个点（a，b）使得它的半径最小值，大于到任意一点的距离。（覆盖）
设半径为r，则有目标函数：
r^2=(x-a)^2+(y-b)^2
范围条件：
(x-a)^2+(y-b)^2>a^2+b^2
(x-a)^2+(y-b)^2>a^2+(b-2)^2
(x-a)^2+(y-b)^2>(a-4)^2+b^2
这就是个优化的问题了：用拉格朗日乘数法能算出来吧
拉格朗日乘数法 我估计你也没学，一下也说不清楚。
但做这个题目明显可以看出这是个直角三角形，那一般猜也猜是在外接圆圆心上面是最小值，这样的话就是那个P点了
如果真要了解我说的方法怎么做，可以联系我，但至少你要了解偏导的概念才好说明白。
最后结果我其实也没算：但按估计的方法的话圆心就是（2，1）点了
-----------------------分界线-----------------------------
其实我感觉 既然是面积最小的圆，圆心到三角形三个点的距离应该相等的时候才能最小，就像均值定理一样 相等的时候取最小值一样，所以一般应该都是外接圆的面积最小，估计这个放到多边形也应该成立，但我现在没办法证明，只是一个感觉

Answer 2

x+2y-4=0与X,Y轴的交点(4,0),(0,2)
它们的中点P(2,1)
此即圆C圆心，
所以：a=2,b=1,
半径=PO=5^(1/2)
圆C的方程: (x-2)^2+(y-1)^2=5

Answer 3

:(x-2)^2+(y-1)^2=5

Answer 4

分呢？