高一数学解答
设a,b∈R+，（i=1,2,..,n)，且a+b=2求证:a2/(2-a)+b2/(2-b)≥2...
设a,b∈R+，（i=1,2,..,n)，且a+b=2
求证:a2/(2-a)+b2/(2-b)≥2 展开
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解：利用柯西不等式，
∵｛[a/√（2-a）]²＋[b/√（2-b）]²｝×｛[√（2-a）]²＋[√（2-b）]²｝≥（a＋b）²
∴a²/(2-a)+b²/(2-b)≥（a＋b）²/（2-a＋2-b） ∵a+b=2 a,b∈R+
∴ a²/(2-a)+b²/(2-b)≥2
∵｛[a/√（2-a）]²＋[b/√（2-b）]²｝×｛[√（2-a）]²＋[√（2-b）]²｝≥（a＋b）²
∴a²/(2-a)+b²/(2-b)≥（a＋b）²/（2-a＋2-b） ∵a+b=2 a,b∈R+
∴ a²/(2-a)+b²/(2-b)≥2
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先把要求证的化简，然后在求证，倒得算
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由a+b=2
→
2-a=b
2-b=a
∴所证不等式即
(a^2/b)+(b^2/a)≥2=a+b
而由均值不等式
(a^2/b)+b≥2√(ba^2/b)=2a
(b^2/a)+a≥2b
两式相加得
(a^2/b)+(b^2/a)≥a+b=2
即得原不等式成立
→
2-a=b
2-b=a
∴所证不等式即
(a^2/b)+(b^2/a)≥2=a+b
而由均值不等式
(a^2/b)+b≥2√(ba^2/b)=2a
(b^2/a)+a≥2b
两式相加得
(a^2/b)+(b^2/a)≥a+b=2
即得原不等式成立
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