Question

已知：AD是Rt△ABC斜边BC上的高，∠B的平分线交AD于M，交AC于E，∠DAC的平分线交CD于N。求证：四边形AMNE

Answer 1

已知：AD是Rt△ABC斜边BC上的高，∠B的平分线交AD于M，交AC于E，∠DAC的平分线交CD于N。求证：四边形AMNE
由∠ABC=∠DAC，∠ABE=∠NAE
∠ABE+∠AEB=90°
∴∠NAE+∠AEB=90°
∴BE⊥AN.
由BO是∠ABC的平分
∴△BAO≌△BNO（A，S，A）
∴AO=NO
同理：AN是∠NAC的平分线
∴OM=OE，可得AM=AE=EN=MN。即四边形AMNE是菱形

Answer 2

解：由题意，可知 ∠BAD+∠ABD=∠BAD+∠CAD=90°
∴∠ABD=∠CAD
∵∠ABD的平分线交AD于E,∠CAD的平分线交CD于F
∴∠ABE=∠DBE=∠EAF=∠CAF
又∵∠BAD=∠C
∴∠BAD+∠DAF = ∠C+∠CAF
即∠BAF = ∠BFA
即△BAF是等腰三角形
∴AB = BF
又∠ABE = ∠FBE
BE = BE
∴由三角形“边角边”全等判别法，可知
△ABE≌△FBE
∴∠BAE = ∠BFE
∴∠C = ∠BFE
∴EF∥AC

Answer 3

由∠ABC=∠DAC，∠ABE=∠NAE。又∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠NAE+∠AEB=90°，
∴BE⊥AN.
由BO是∠ABC的平分线，
∴△BAO≌△BNO（A，S，A），
∴AO=NO。
同理：AN是∠NAC的平分线，
∴OM=OE，可得AM=AE=EN=MN。即四边形AMNE是菱形。