Question

设数列｛an｝的前n项和为sn，且sn＝2an－2n，n∈Z＊，求a1,a4；证明：｛an＋1－2an｝是等比数列；求｛an｝

设数列｛an｝的前n项和为sn，且sn＝2an－2n，n∈Z＊，求a1,a4；证明：｛an＋1－2an｝是等比数列；求｛an｝的通项公

Answer 1

（1）证明：因为sn=2an-2n
sn-1=2an-1-2(n-1)
所以sn-sn-1=an=2an-2an-1-2即an-2an-1=2
所以an+1-2an=2又因为a2-2a1=2
所以数列{an+1-2an}为首项为2公比为1的等比数列；
（2）（下面用待定系数法解题，而且待定系数法是适用于此一类题的）
由1可知：an+1-2an=2 1
再设在等式两边同时加上a且变成如下形式
an+1+a=2(an+a) 2
由1式和2式可得：a=-2
所以an+1+2=2(an+2)
又因为a1+2=4
所以数列{an-2}为首项为4公比为2的等比数列
所以an+2=2^(n+1)
所以an=2^(n+1)-2

Answer 2

s1=a1,a1=2a1-2,a1=2,
s2=2a2-4,a1+a2=2a2-4,a2=6,
s3=2a3-6,a1+a2+a3=2a3-6,a3=14,
s4=2a4-8,a1+a2+a3+a4=2a4-8,a4=30
sn=2an-2n
s(n-1)=2a(n-1)-2(n-1)
sn-s(n-1)=2an-2a(n-1)+2
an=2a(n-1)+2
a(n+1)=2an+2
a(n+1)-2an=2
｛an＋1－2an｝是常数数列
an+2=2(a(n-1)+2)
an+2为首项为a1+2公比为2的等比数列
an+2=(a1+2)*2^(n-1)
an+2=2^(n+1)
an=2^(n+1)-2