Question

相似三角形

如图，正方形ABCD中，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA边上的点，且AE:EB=BF:FC=CG:GD=DH:HA,请问四边形EFGH与正方形ABCD相似吗？并说明理由。

Answer 1

它们两个四边形是相似的，因为他们都是正方形。当EFGH为中点时显然成立。下面看看EFGH不是中点的情况。显然，假如一个点不是中点，那么四个点都不会是正方形边上的中点，而且有AE=BF=CG=DH，EB=FC=GD=HA.（证明过程我就不详细说了，简单说说思路）这时候有三角形AEH、BFE等四个三角形全等，而且他们都是直角三角形、自然有HE=EF=FG=GH。同时也有角GFC+角FGC=角GFC+角EFB=90°。角EFG=180°-（角GFC+角EFB）=90°。同理可得四边形EFGH四个内角都是90°、即它是一个正方形。所以它们是相似的。

Answer 2

因为AE:EB=BF:FC=CG:GD=DH:HA
有因为AB=BC=CD=DA
所以AE=BF=CG=DH EB=FC=GD=HA
角A,B,C,D=90度
所以HE=EF=FG=GH
因为角BEF=角GFC
所以角EFG=90度
同理可得角E.F.G.H为90度
所以四边形EFGH与正方形ABCD相似