Question

已知向量m=(根号3sinx/4，1)，向量n=(cosx/4,cos^2 x/4)

1。向量m乘以向量n=1，求cos(∏/3+x)的值
2。记f(x)=向量m乘以向量n，在三角形ABC中，角A,B,C的对边是a,b,c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f(A)的取值范围。

Answer 1

1.m·n＝√3sin（x/4）cos（x/4）+cos²（x/4）

＝（√3/2）sin（x/2）+（1/2）cos（x/2）+1/2

＝cos（x/2-π/3）+1/2＝1

cos（x/2-π/3）＝-1/2.x/2-π/3＝±2π/3+2kπ,x/2＝ ±2π/3+2kπ+ π/3

x＝±4π/3+4kπ+ 2π/3, x+π/3＝±4π/3+4kπ+ π

cos(∏/3+x)＝1/2

2,f（A）＝cos（∠A/2-π/3）+1/2

（2a-c）cosB=bcosC,从正弦定理，（2sinA+sinC）cosB=sinBcosC

可得sinA（2cosB-1）＝0 sinA≠0,2cosB-1＝0.∠B＝π/3

0＜∠A＜2π/3.-π/3＜[∠A/2-π/3]＜0.-1/2＜cos[∠A/2-π/3]＜0

0＜f（A）＜1/2.

Answer 2

m*n=1
化简：
(√3sin(x/4),1)*(cos(x/4),(cos(x/4))^2)=1
√3sin(x/4)*cos(x/4)+ [cos(x/4)]^2 =1
(√3/2)sin(x/2) +(1/2) cos(x/2) +1 /2=1
(√3/2)sin(x/2)+(1/2)cos(x/2)= 1/2
sin(x/2+π/6)=1/2
[sin(x/2+π/6)]^2=1/4
利用公式（1-2sin^2a=cos2a）：
∴[sin(x/2+π/6)]^2=1/2-1/2cos(x+π/3)=1/4
∴cos(x+π/3)=（1/4-1/2）*（-2）=1/2