Question

高一数学：数列相关

已知数列{an}和{bn}，对一切正整数n都有：
a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1=3^(n+1)-2n-3
1. 如果数列{bn}为常数列，bn=1，求数列{an}的通项公式；
2. 如果{an}的通项公式为an=n，求证数列{bn}为等比数列；
3. 如果数列{bn}为等比数列，数列{an}是否是等差数列？如果是，求出这个通项公式，如果不是，请说明理由。
PS：第一小问可以简略，这个我会，主要是第二三小问，望网友解答！
回答时请网友态度认真，条理清晰.
详细见图

Answer 1

我来简单的搞搞吧，并不太难

Answer 2

2.bn+2bn-1+…… +nb1 =3^(n+1)-2n-3
bn-1+2bn-2+…+(n-1)b1=3^n-2n-1
两式相减 bn+bn-1+…+b1=2(3^n-1)=Sn
b1=4
bn=Sn-Sn-1=4*3^(n-1)可证等比数列。

3.设bn=b1*q^(n-1) an=a1+(n-1)d
a1bn+a2bn-1+…… +anb1 =3^(n+1)-2n-3
a1bn-1+a2bn-2+…+a(n-1)b1=3^n-2n-1
相减得：a1bn+d(bn-1+bn-2+…+b1)=2(3^n-1)
a1b1q^(n-1)+db1(1-q^(n-1))/(1-q)=2(3^n-1)
显然q=3
a1=d=4/b1
∴an=4n/b1
存在

Answer 3

：(1)依题意数列{an}的通项公式是an=n，

故等式即为bn+2bn-1+3bn-2+…+(n-1)b2+nb1=2n+1-n-2，

同时有bn-1+2bn-2+3bn-3+…+(n-2)b2+(n-1)b1=2n-n-1(n≥2)，

两式相减可得bn+bn-1+…+b2+b1=2n-1,

可得数列{bn}的通项公式是bn=2n-1，

知数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.

(2)设等比数列{bn}的首项为b，公比为q，则bn=bqn-1，从而有：

bqn-1a1+bqn-2a2+bqn-3a3+…+bqan-1+ban=2n+1-n-2.

又bqn-2a1+bqn-3a2+bqn-4a3+…+ban-1=2n-n-1(n≥2)，

故(2n-n-1)q+ban=2n+1-n-2,

an=×2n+×n+，

要使an+1-an是与n无关的常数，必须q=2，

即①当等比数列{bn}的公比q=2时，数列{an}是等差数列，其通项公式是an=；

②当等比数列{bn}的公比不是2时，数列{an}不是等差数列.