Question

已知f(x)=x2+2x+1,若存在实数t，当x∈[1,m]时，f(x+t)≤x恒成立，则实数m的最大值是（） A、1 B、2 C、3 D

表达式第一项是X的平方，答案是B，求解题过程。

Answer 1

因为 f(x+t)<=x恒成立,可得f1(x)=x^2+(2t+1)x+(t+1)^2<=0
b^2-4ac>=0 可得：t<=-3/4 (1)
因为抛物线开口向上且在[1,m]范围内<=0
所以根x1<=1 即f1(1)<0，得-3<=t<=-1
x2>=m x2=[-2t-1+根号(-4t-3)]/2>=m
因为[-2t-1+根号(-4t-3)]/2 是减函数，t最小时m最大
所以t=-3代入得 m<=4

Answer 2

答案是4- -||

不需要楼上这么麻烦的计算的~

f（x）=（x+1）^2,f(x+t)=(x+t+1)^2

这个函数与x轴只有1个交点且开口向上

因为该函数的图像形状在沿x轴移动的时候不变

所以要求m的最大值 只需求t在满足题目要求的情况下的最小值（t是负的，因为f（x）的图像必须右移才能符合题意，而右移的话t必须是负的，且t越小移的距离越大）

因为g（x）=x过点（1，1），x∈[1,m]时，f(x+t)≤x恒成立

所以x∈[1,m]时，f(x+t)的图像要在g（x）=x的图像的下面

所以此时函数f(x+t)的左半边跟g（x）=x交于（1，1）

代入解出t=-1（舍去）或-3

所以f（x+t）=(x-2)^2

所以求得函数f(x+t)跟g（x）=x的另一个交点坐标是（4，4）

所以在x∈[1,4]上，f(x+t)≤x恒成立，此时m最大，为4

Answer 3

哦，看错题了，我以为t是任意实数

Answer 4

解：由题设知，关于x的不等式f(x+t)≤x具体的即是：x²+(2t+1)x+(t+1)²≤0.当x∈[1,m]时，该不等式恒成立，则必有:⊿≥0,且1+2t+1+(t+1)²≤0,且m²+(2t+1)m+(t+1)²≤0.由此可得：-3≤t≤-1,且t²+2(m+1)t+m²+m+1≤0.到此，问题可化为：关于t的不等式:t²+2(m+1)t+m²+m+1≤0.在区间[-3,-1]上恒成立，求m的最大值。易知，此时应有⊿=4(m+1)²-4(m²+m+1)≥0,且9-6(m+1)+m²+m+1≤0,且1-2(m+1)+m²+m+1≤0.===>m=1.