Question

四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分∠DAB，E为AC、BD的交点，求证：BE:DE=BC2:CD2

面积法虽然行，但没有用上一些条件，最好不要。要别的方法

Answer 1

∵AC为AB、AD的比例中项
∴AB/AC=AC/AD
又∵AC平分∠DAB
∴ΔABC∽ΔACD
∴AB/AC=AC/AD=BC/CD
∴AB/AC*AC/AD=BC/CD*BC/CD
即：AB/AD=BC2/CD2
过D作DN垂直AC交于N，过B作BM垂直AC交于M
易证ΔADN∽ΔABM
所以AD/AB=DN/BM
又易证ΔDEN∽ΔBEM
所以DN/BM=DE/BE
即AD/AB=DE/BE
所以BE:DE=BC2:CD2

Answer 2

可以从面积法考虑

BE:DE=三角形ABC面积：三角形ACD面积

而两个三角形是相似关系，对应边比例为BC:CD

所以他们的面积比为BC2:CD2

命题得证

Answer 3

过点D作DF∥AB交AC的延长线于点F，则∠2=∠3
∵AC平分∠DAB
∴∠1=∠2
∴∠1=∠3
∴AD=DF
∵∠DEF=∠BEA，∠2=∠3
∴△BEA∽△DEF
∴
∵AD=DF
∴
∵AC为AB、AD的比例中项
∴
即
又∵∠1=∠2
∴△ACD∽△ABC
∴
∴
∴