Question

高一数学--求函数的值域

已知x∈[0,1],则函数y=√(x+2)-√(1-x)的值域是多少？
答案是[√2-1,√3].如有做出来的请告之，谢谢!

Answer 1

√(x+2) 单调递增
√(1-x) 单调递减
√(x+2)-√(1-x) 单调递增
x=0 y最小=√2-1,
x=1 y最大=√3

Answer 2

y=√(x+2)-√(1-x)

√(x+2)在x∈[0,1]区间内是单调递增的
√(1-x)在x∈[0,1]区间内是单调递减的，并且√(1-x)>=0,因此-√(1-x)在x∈[0,1]区间内是单调递增的

=>y=√(x+2)-√(1-x)在x∈[0,1]是单调递增的
=》最小值ymin=√（0+2）-√（1-0）=√2-1
最大值ymax=√（1+2）-√（1-1）=√3

所以y的值域是[√2-1,√3]

Answer 3

该函数是单调递增函数，
所以当x分别取0和1时，有最小值√2-1和最大值√3

Answer 4

在区间[0,1]上任意取出两个数a，b，且令a>b

f(a)-f(b)=√(a+2)-√(1-a)-√(b+2)+√(1-b)
=[√(a+2)-√(b+2)]+[√(1-b)-√(1-a)]
因为a>b,√(a+2)-√(b+2)>0 且√(1-b)-√(1-a)>0
所以f(a)-f(b)>0,f(x)在x∈[0,1]上是增函数
f(x)min=f(0)=√2-1 f(x)max=f(1)=√3

值域就是：√2-1≤f(x)≤√3