Question

高中数学题两道。。在线等

1、在△ABC中 ，∠A=π/6，D是BC边上任意一点（D与B，C不重合），且向量AB的模^2=向量AD模^2 + 向量BD·向量DC，则∠B=？？
2、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量AB·向量AC=向量BA·向量BC=1，∠A=∠B
（1）求边长c的值
（2）若（向量AB+向量AC）的模=根号6，求△ABC的面积

Answer 1

解：
我用~AB代表AB向量。
1. 由已知有
AB² = AD²+~BD·~DC
= AD²+BD×DC
∵ AB² = AD²+BD²-2AD×BD×cos∠ADB
∴ AD²+BD×DC = AD²+BD²-2AD×BD×cos∠ADB
DC = BD - 2ADcos∠ADB
注意，如果∠B为钝角或直角，那么在图中易知 BD - ADcos∠ADB ≤ 0 ,那么 DC = BD - 2ADcos∠ADB ＜ 0 ,不可能，所以∠B必定为锐角，则有
DC = BD + 2ADcos∠ADC
BD + DC = 2BD + 2ADcos∠ADC
1/2BC = BD + ADcos∠ADC
注意，这意味着BC边的中线和垂线重合，有
AB = BC , ∠B = ∠C = 5π/12

2.(1) ∠A = ∠B ,则 ACcos∠A = 1/2AB = 1/2c
∵ ~AB·~AC = 1
∴ AB×AC×cos∠A = 1
1/2c² = 1
c = √2
(2) |~AB+~AC| = √6
|~AB+~AC|² = 6
(~AB+~AC)² = 6
~AB²+~AC²+2~AB·~AC = 6
2 + b² + 2 = 6
b = √2
∴ a = b = c =√2
∴ S△ABC = 1/2×(√2)²sin60º
= 1/2√3