Question

几道高中立体几何题，急，要过程

P是△ABC所在平面α外一点，O是点P在平面α内的射影，若P点到△ABC的三个顶点等距离，那么O点是△ABC的——心，若P点到△ABC的三边等距离，且O点在△ABC内部，那么O点是△ABC的—心？若PA,PB,PC两两互相垂直，那么O点是△ABC的—心？

Answer 1

第一问

因为AO=BO=CO 所以设∠OAC=∠OCA=∠1 ∠OAB=∠OBA=∠2 ∠OBC=∠OCB=∠3

∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°

∠1+∠2+∠3=三角形内角和的一半即90°

所以：∠OAC+∠OAB+∠OCA=90°

则CO延长线垂直AB

其余AO BO 同理

O为垂心

第二问

PO垂直ABC面 PX垂直BC PY垂直AC PZ垂直AB （BC垂直于PO 垂直于PX 就有BC垂直于面POX 以下同理）

则AC垂直于面POY AB垂直于面POZ

即OX垂直BC OY垂直AC OZ 垂直AB

又因为PX=PY=PZ 公用一边PO

则三角形POX POY POZ 全等

OX=OY=OZ

角平分线的点到两边距离相等

所以是角平分线焦点

即内心