Question

已知函数f(x)=a^x-a^(-x)/a^x+a^-x(a>0且a不等于1),1.求函数的值域和定义域2.求函数奇偶3.求函数f(x)单调

Answer 1

解：f(x)= [a^x-a^(-x)]/[a^x+a^(-x)]，a>0且a≠1.
（1）∵对于任意的x∈R，a^x>0 ，a^(-x)>0，a^x+a^(-x)>0，
∴函数的定义域为R.
令f(x)=y，
则y= [a^x-a^(-x)]/[a^x+a^(-x)]
[a^x+a^(-x)]y=[a^x-a^(-x)]
[a^(2x)+1]y=[a^(2x)-1]
a^(2x)=(1+y)/(1-y)
∵当x∈R时， a^(2x) ∈（0＋，∞）
∴(1+y)/(1-y)>0，解得-1<y<1，
∴函数值域为（-1，1）.
（2）f(-x)= [a^(-x)-a^x]/[a^(-x)+a^x]=-f(x)
∴f(x)为奇函数.
（3）f(x)= [a^x-a^(-x)]/[a^x+a^(-x)]
=[a^(2x)-1]/ [a^(2x)+1]
=1-2/ [a^(2x)+1]
当a>1时，随着x的增大，a^(2x)也在增大，2/ [a^(2x)+1]在减小，1-2/ [a^(2x)+1]在增大，
∴函数的递增区间为（-∞，＋∞）；
同理，当0<a<1时，函数f(x)在R上为减函数，
∴函数的递减区间为（-∞，＋∞）.