Question

高中数学题，求详解！

1.二面角α-l-β为60°，A，B是棱上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=a，BD=2a，则CD的长为多少？
2.两家人共同拥有一块土地ABC，形状是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=a米，如果两家人，准备划分一条分割线PQ（直线段），使两家所得土地面积相等，其中P，Q分别在线段AB，AC上。
（Ⅰ）如果准备在分割线上建造一堵墙，请问如何划分分割线，才能使造墙费用最少；
（Ⅱ）如果准备在分割线上栽种同一种果树，如何划分割线，才能使果树的产量最大？

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Answer 1

1
解：
在α，β平面内分别做一点G，F，使得CG‖直线l，且GB⊥l；使得DF‖直线l，且FA⊥l
∵CA⊥l，GB⊥l，CG‖直线l，CA，GB∈α
∴CG=AB=a
同理可得DF=AB=a，既CG=DF=AB=a
∵GB⊥l，CA⊥l，且CG在同一直线上
∴AC=BG=a
又∵CG‖直线l，DF‖直线l，CG=DF=AB=a
∴CG‖DF且CG=DF=a
∵CG‖直线l，BD⊥l
∴CG⊥BD
同理可得DF⊥BG
∵CG⊥BG，CG⊥BD，DF⊥BD，DF⊥BG
∴CG⊥平BGD，DF⊥平BGD
且CG‖DF‖l ,CG=DF=a
则CGDF为矩形
在△BGD中，应用余弦定理可得DG
DG^2=BG^2+BD^2-2BG*BD*cos∠GBD
BG=a，BD=2a，cos∠GBD=cos600=1/2
DG^2=a^2+4a^2-2*a*2a*1/2
DG^2=3a^2
CD^2=CG^2+GD^2
=a^2+3a^2
=4a^2
长为正数
CD=2a
2题
建立直角坐标系，以C点为原点CA方向为X正方向，CB方向为Y正方向。设P点坐标为P（x1，0），Q点坐标为 Q（x2，a-x2）
根据三角形面积公式
S△=1/2 * | a b 1 |
| c d 1 |
| e f 1 |
| a b 1 |
| c d 1 |
| e f 1 |为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC顺序可按逆时针方向从顶点选取。计算值为负，取绝对值。

S△=1/2 * | a b 1 |
| c d 1 |
| e f 1 |
=1/2 *（a^2-a*x2-a*x1+x1*x2）
=1/2 *（a-x1）*(a-x2) （1）
PQ^2=(x1-x2)^2+(a-x2)^2
根据题目要求S△=(1/2)S△ABC
=(1/2)* (1/2)*a*a
=0.25*a^2
(1) 题目要求PQ最小，则PQ^2也最小
分析PQ^2表达式可设x1-x2=0（x1，x2均取不到a）
将此带入（1）式计算
1/2 *（a-x1）*(a-x2)= 0.25*a^2
（a-x1）*(a-x1)= 0.5*a^2 解得x1=x2=a(2-√2)/2
分割线P点距C点a(2-√2)/2，此时距离最短，最短距离为a√2/2。QP⊥CA，Q点距A点距离为a。
（2）题目要求PQ最大，则PQ^2也最大
（a-x1）*(a-x1)= 0.5*a^2
a-x2↑，a-x1↓，x1↑，x2↓。|x1-x2|↑
a-x2可取的最大值为a。可计算出x1=a/2，x2=0
分割线P点距C点a/2，Q点距A点距离为√2a（既Q点与B点重合），此时距离最长，最长距离为a√5/2

Answer 2

1.由题意知二面角α-l-β为60°，A，B是棱上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥AB,BD⊥AB,AB=AC=a，BD=2a
过D作DE⊥面α交面α于E，连接CE，BE
由三垂线定理可知DE⊥CE，DE⊥BE，DE⊥AB
ABEC为正方形，CE=BE=a
在Rt⊿BDE中，BD=2a,BE=a, ∠DBE=60°,∴DE=√3a
在Rt⊿DCE中，CE=a,DE=√3a,∴DC=2a
2.(1) 使造墙费用最少,即使分割线PQ最短
∵两家所得土地面积相等
∴分割线PQ最短时，Q与C重合，P在AB中点PQ=√2/2a；
(2) 使果树的产量最大,即使分割线PQ最长
∵两家所得土地面积相等
∴分割线PQ最长时，P与B重合，
设AB边上高为h，S(QAB)=1/2ABh=a^2/4==>h=√2/4a
AQ=1/2a,即Q在AC中点PQ=√5/2a；