Question

高等数学第二类换元积分法疑问

第二类换元积分法，求不定积分时，可以采用三角替换法，如：x=tant(完整的定义域为-π/2到π/2),此时我们在计算时，开否将定义域取为-π/2到0或者π/2到0 ，以免在后边的计算时，出现讨论开方时的正负号的问题？

Answer 1

可以的。
多数情况下正负号可以不考虑，算出来的答案也是正确的，一般大一教高数的老师也是不会让学生考虑正负号问题的，直接当做正的来做。

因为毕竟不是数学专业，并没有要求那么严谨的思维。

你的问题，在实际操作中，一般是可以这么做的，不需考虑正负号，最终结果多数情况下是对的。

至于必须考虑正负号的积分，在正式的考试题目中好像没见过，但在在竞赛题、以及各种微积分题集里面可能会出现这种必须考虑正负号的积分，这时就必须严格的进行替换，这时三角替换中的t的定义域必需保证x的值域完全符合被积函数的定义域，但这种对于非数学专业来说就属于偏题了。

Answer 2

对于正负号
我可以负责的说 完全不需要考虑 因为积分时我们不需要讨论x的范围 哪怕是解微分方程也是这样
该怎么代换就怎么代换
题目做到最后就无所谓什么积分方法 练多了 看见题目 手自己写出答案 积分就像是身体的一部分一样

Answer 3

不能的。
因为X的定义域为负无穷到正无穷，取tant时对应的定义域就为-π/2到π/2，如果只取-π/2到0或者π/2到0，则把X的定义域缩小为X<=0或者X>=0了。

Answer 4

任何替换方法的原则是需要等价替换，我们用tant将x替换时要保证tant的值域与x的值域等价，若x的取值是负无穷到正无穷，t的取值范围就必须要保证tant可以在负无穷到正无穷之间取值，否则替换就不是等价替换。只要每一步都是对的，就尽管去做。
个人认为理科的东西都需要严谨的证明，每一步都要有依据，经的起推敲，经过长期的训练积累会有技巧可循，但没有捷径可走，要端正态度，不能怕麻烦。