Question

求解一道高二数学题：已知函数f<x>=根号下<1+x^2> <x∈R>求证:,|f(a)-f(b)|<|a-b|

Answer 1

|f(a)-f(b)|
=|√(1+a^2)-√(1+b^2)|
=|a^2-b^2|/√(1+a^2)*√(1+b^2)
=|a-b|*|a+b|/√(1+a^2)*√(1+b^2)
≤|a-b|*1

原式得证

注意这一点：柯西不等式
|a+b|/√(1+a^2)*√(1+b^2)≤1
|a+b|≤√(1+a^2)*√(1+b^2)
(a+b)^2≤(1+a^2)*(1+b^2)

Answer 2

其实很简单，因为a,b是任意的，所以不妨令a>b，直接去掉绝对值，然后两边平方，化简后再平方。最后相当于证明a^2+b^2+1>0 显然成立，即原式得证