Question

两道高一数学题

1．一种产品的年产量第一年为a件，第二年比第一年增长P1％，第三年比第二年增 长P2％，且P1＞0，P2＞0，P1＋P2＝2P，如果年平均增长X％，试 比较P与X的大小．

2．为了促销，甲，乙两个商家分别对同一商品降价销售，甲连续两次降价率分别为 P1，P2，乙两次降价率都是（P1＋P2）／2〔P1不等于P2〕，则这两 个商家降价幅度大的是？
我要过程！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

Answer 1

1、第三年总产量=a(1+p1%)(1+p2%)=a（1+x%)(1+x%)
即1+p1%+p2%+p1%*p2%=1+2p%+p1%p2%=1+2x%+x%*x% （1）
如p1=p2,则p=x
如p1不等于p2,则p1p2={(p1+p2)/2+(p1-p2)/2}{(p1+p2)/2-(p1-p2)/2}={(p1+p2)/2}^2-{(p1-p2)/2}^2<(p1+p2)/2}^2=p^2
即（1）=1+2x%+x%^2<1+2p%+p%^2
因此x<p
所以p>=x
2、甲降价后的价格为（1-P1)(1-p2)=1-p1-p2+p1p2=1-2p+p1p2(假设P1＋P2＝2P）<1+2p+p^2(不等式过程见第一题）
乙降价后售价=（1-p)^2=1-2p+p^2
通过上面的运算，我们知道甲降价后价格比乙低
因此甲降价幅度比乙大

Answer 2

1.
第三年比第一年增长率=(第三年产量-第一年产量)/第一年产量
则年平均增产率
x=[a(1+p1%)(1+p2%)-a]/2a=(p1%+p2%+p1%*p2%)/2=(p1%+p2%)/2 +p1%*p2%/2
P=(P1%+P2%)/2
P1>0,P2>0 则有x>p
2.
甲降价率=1-(1-p1)(1-p2)=p1+p2-p1p2
乙降价率=1-[1-(p1+p2)/2][1-(p1+p2)/2]=p1+p2-1/4*(p1+p2)^2
=p1+p2-(p1^2+2p1p2+p2^2)/4
因为(p1-p2)^2>=0 即有 p1^2+p2^2>=2p1p2 当且仅当P1=P2等号成立
即有(p1^2+2p1p2+p2^2)/4 >= p1p2
而题目指明P1不等于P2,
所以甲降价率 > 乙降价率

Answer 3

(1+P1％)(1+P1％)=(1+X％)^2

(1+P1％)(1+P1％)<=[(1+P1％+1+P1％)/2]^2=(1+P%)^2
所以X<P

降价后的价格为
甲(1-P1)(1-P2)
乙[1-（P1＋P2）／2]^2
(1-P1)(1-P2)<=[(1-P1+1-P2)/2]^2
所以乙的价格高，甲降价幅度大