Question

已知函数f(x)=x的平方+2x+1，若存在实数t，当x属于[1，m]时，f(x+t)<=x恒成立，求实数m的最大值。

已知函数f(x)=x的平方+2x+1，若存在实数t，当x属于[1，m]时，f(x+t)<=x恒成立，求实数m的最大值。

Answer 1

答：
f(x)=(x+1)^2,存在t满足当x∈[1,m]时f(x+t)≤x恒成立
取x=1,f(x+1)=(t+2)^2≤1，得-3≤t≤1,
当x≥1
f(x+t)=(x+t+1)^2≤x,开方(即时左边为负不等式也成立）
x+t+1≤√x
-3≤t≤-x+√x-1
1≤x≤4,
故m最大为4，此时t=-3满足条件。

参考:

x∈〔1，m〕
f(x+t)≤x，即(x+t+1)^2≤x
－√x≤x+t+1≤√x
于是-x-√x－1≤t≤-x＋√x－1
-x-√x－1是一个减函数，故它的最大值是x＝1时的－3
∴t≥－3
-x＋√x－1＝－（√x－1/2）^2－3/4
在〔1，m〕上也是递减函数
故它的最小值上是x＝m时取的-m+√m－1
故t≤-m+√m－1

由于有t存在，故-m+√m－1≥－3
解得
m≤4
即m的最大值为4