Question

已知x，y是正实数，且xy-x-y=1，求证x+y≥2+√2

Answer 1

解：x>0,y>0
根据基本不等式:
x+y≥2√(xy)
∴xy-x-y=xy-(x+y)=1≤xy-2√(xy)
∴xy-2√(xy)≥1
xy-2√(xy)-1≥0
令√(xy)=t （t≥0）
解得:
√(xy)≤1-√2(舍去)
√(xy)≥1+√2
∴xy≥(1+√2)^2
=3+2√2
∵x+y=xy-1
∴x+y≥2+2√2

也可以先从x+y考虑
xy-(x+y)=1≤(x+y)^2/4-(x+y)
∴(x+y)^2/4-(x+y)≥1
∴(x+y)^2-4(x+y)-4≥0
解得:
x+y≥2+2√2

综上所述
x+y的取值范围是:x+y≥2+2√2

Answer 2

xy-x-y=1
即xy=x+y+1
又xy<=(x+y)^2/4
设t=x+y>0
即有:t+1<=t^2/4
t^2>=4t+4
t^2-4t+4>=8
(t-2)^2>=8
t-2>=2根号2或t-2<=-2根号2.(舍)
故有:x+y>=2+2根号2