Question

高中数列问题较难

高手只需做第二问，第一问没意义，请高手推导时给详细些，谢谢
请用高中的方法，实在唔得，高数照杀，

Answer 1

本题主要用归纳法解
∵e>2.18，e²>4.5
只要证an<9/2 即可
a1=1<9/2,a2=2<9/2
∴n=1，2时，不等式成立

先证明一个更强的命题：an<9/2-9/(2n)-1/2^(n-1) (n≥3)
当n=3时，a3=31/12<9/2-9/6-1/4=33/12
当n=k时，ak<9/2-9/(2k)-1/2^(k-1)
当n=k+1时,
即要证:ak+1 < 9/2-9/(2(k+1))-1/2^k
即要证:(1+1/(k²+k))ak+1/2^k < 9/2-9/(2(k+1))-1/2^k
即要证:(1+1/(k²+k))(9/2-9/(2k)-1/2^(k-1))+1/2^k < 9/2-9/(2(k+1))-1/2^k
展开不等式左右并化简：-9/(2k(k²+k))-1/(2^(k-1)(k²+k)) < 0
这是很显然的
所以对于任意n≥3,总有an<9/2-9/(2n)-1/2^(n-1) 成立
所以an<9/2<e²

Answer 2

用到高数知识。