Question

一道初二的数学题，谢谢大家了

在三角形ABC中，AB=5,BC=3 ， AC=4,PQ//AB,点P在AC上，（与A,C不重合），Q在BC上。问1.当三角形PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长； 2.当三角形PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求PC的长； 3.在AB上是否存在点M，使得三角形PQM为等腰直角三角形？若存在说明理由，若不存在，求PQ的长

Answer 1

1)设CQ=a,CP=b,PQ‖AB,点P在AC上,a=3b/4
当三角形PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时
1/2*ab=1/2*3b²/4=1/2*1/2*3*4
b=2√2,a=3√2/2,
(2)设CQ=a,CP=b,PQ‖AB,点P在AC上,a=3b/4
当三角形PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时
a+b==3-a+(4-b)+5
3b/4+b=3-3b/4+(4-b)+5
b=24/7=PC
(3)设CQ=a,CP=b,PQ‖AB,点P在AC上,a=3b/4
若AB上存在一点M，使三角形PQM为等腰直角三角形,
(若高中用二平行之间距离来做方便一点)
PQ²=a²+b²=25b²/16，PQ=5b/4
取PQ中点G，则GM=5b/8
PQ‖AB，P到AB的距离=PQ=5b/8
利用相似三角形得：
5b/24=（4-b）/5
b=96/49，a=72/49
PQ²=（96²+72²）/49²=14400/49²
PQ=120/49
答案不知对不对，作参考吧

Answer 2

勾三股四弦五

直角三角形啊

面积 AC*BC/2=6

PQC面积和四边形ABQP相等，就是说等于三角形ABC面积一半

PC/QC=AC/BC=4/3（因为PQ//AB)

PC=（4/3）QC

PC*QC/2=3

带入得PC=4/根号2

PQ=5/根号2

Answer 3

问一： 设：PC=x,∵PQ//AB，∴△CPQ∽△ABC。因为BC:AC=3:4,∴QC;PC=3:4,所以得方程（3/4）X²=6-（3/4）X² 解得2倍根号二
问二： 设：PC=X，，因为相似，，又周长相等，所以AB+BQ+AP=PC+QC,所以得方程：5+(3-3X/4)+(4-X)=X+3X/4 解得：X=24/7
问三：（问三问错了吧，应该是存在求PQ长，不存在说明理由吧？）
我也不太会，望见谅，也望采纳~~