Question

高中数学函数

已知函数f(x),g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，且对于任意x∈R有f(x)+g(x)=a^x(a>0且a不等于1）
（1）求证：f（2x）=2f(x)g(x)
（2）设f(x)的反函数为h（x），当a=√2-1时，试比较-1与h[g(x)]的大小，并证明。

Answer 1

证明：（1）由题意，f(x)=-f(-x),g(x)=g(-x);
f(2x)+g(2x)=a^2x,(i)
f(-2x)+g(-2x)=a^(-2x),即-f(2x)+g(2x)=a^(-2x)(ii)
由（i）-(ii),得f(2x)=[a^2x-a^(-2x)]/2
而 f(x)+g(x)=a^x,即[f(x)+g(x)]^2=a^2x (iii)
f(-x)+g(-x)=a^(-x),即-f(x)+g(x)=a^(-x),
也即[-f(x)+g(x)]^2=a^(-2x)(iiii)
由(iii)-(iiii)整理得，2f(x)g(x)=[a^2x-a^(-2x)]/2
故f（2x）=2f(x)g(x)
证毕！
（2）由（1）知f(2x)=[a^2x-a^(-2x)]/2，则f(x)=[a^x-a^(-x)]/2
其反函数h(x)=loga[√（1+x^2）+x],
g(x)=a^x-f(x)=[a^x+a^(-x)]/2
=(a^x+1/a^x)/2>=1（不等式a+b>=2√ab,a,b>0）
（即此处当a^x=a^(-x)取等号）
因为a=√2-1<1,所以h[g(x)]<=loga(√2+1)=-loga[1/(√2-1))]=-1
所以h[g(x)]<=-1，当x=0时，取等号。