Question

一道数学归纳法证明题

用数学归纳法证明1+n/2<=1+1/2+1/3+...+1/(2^n)<=1/2+n

谢谢

Answer 1

dwtydwtyky的做法悲剧了~
“两式相减”的时候，那是不等式啊怎么能小的减小的，大的减大的呢？？
我有一种做法，需要写一会儿……

n=1显然
n=k时1+k/2<=1+1/2+1/3+...+1/(2^k)<=1/2+k （1）

n=k+1时
要证
1+（k+1）/2<=1+1/2+1/3+...+1/(2^k)+……+1/(2^（k+1）)<=1/2+k+1 （2）

先证左半个不等式：
（1）的左半个同时加1/2：
1+(k+1)/2<=1+1/2+1/3+...+1/(2^k)+1/2
与待证的（2）左半个相比，要证：
1/(2^k+1)+……+1/(2^(k+1))>=1/2 （3）
证明（3）：
1/(2^k+1)+……+1/(2^(k+1))共有2^k项相加，其中最小者为1/(2^(k+1))
故1/(2^k+1)+……+1/(2^(k+1))>=2^k/(2^(k+1))=1/2,（3）得证。

再证右半个不等式：
（1）的右半个同时加1：
1+1/2+1/3+...+1/(2^k)+1<=1/2+k+1
与待证的（2）右半个相比，要证：
1/(2^k+1)+……+1/(2^(k+1))<=1 （4）
证明（4）：
1/(2^k+1)+……+1/(2^(k+1))共有2^k项相加，其中最大者为1/(2^k+1)
故1/(2^k+1)+……+1/(2^(k+1))<=2^k/(2^k+1)=1-1/(2^k+1)<=1,（4）得证。

Answer 2

n=1时

假设n=k时成立
1+k/2<=1+1/2+1/3+...+1/(2^k)<=1/2+k

n=k+1时
要证
1+（k+1）/2<=1+1/2+1/3+...+1/(2^k)+………1/(2^（k+1）)<=1/2+k+1

两式相减，
须证1/2<=1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+……+1/(2^（k+1）)<=1
中间共有2^k项，最大是1/(2^k+1)，最小是1/(2^（k+1）)
所以2^k/(2^（k+1）)<^^^^^^^^<2^k/(2^k+1)
所以1/2<^^^^^^^^<1

Answer 3

证明：
（1）首先证明1+n/2<=1+1/2+1/3+...+1/(2^n)
令f（n）=（1+1/2+1/3+...+1/(2^n)）-（1+n/2）
=1/2+1/3+...+1/2^n-n/2
当n=1时，f（n）=0
当n>1时，假设f(n)>=0
则有f(n+1)=1/2+1/3+...+1/2^(n+1)-(n+1)/2
=f(n)+1/(2^n+1)+...+1/2^(n+1)-1/2
>=f(n)+(2^(n+1)-2^n)/(2^(n+1))-1/2
=f(n)+1
>0
由此可知，对于任意n>0总有1+n/2<=1+1/2+1/3+...+1/(2^n)
（2）再证明1+1/2+1/3+...+1/(2^n)<=1/2+n
令f（n）=（1+1/2+1/3+...+1/(2^n)）-（1/2+n）
=1/2-n+1/2+1/3+...+1/2^n
当n=1时，f（n）=0
当n>1时，假设f(n)<=0
则有f(n+1)=1/2-(n+1)+1/2+1/3+...+1/2^(n+1)
=f(n)+1/(2^n+1)+...+1/2^(n+1)-1
<=f(n)+(2^(n+1)-2^n)/(2^n+1)-1
=f(n)-1/(2^n+1)
<0
由此可知，对于任意n>0总有1+1/2+1/3+...+1/(2^n)<=1/2+n
综上所述，1+n/2<=1+1/2+1/3+...+1/(2^n)<=1/2+n

Answer 4

这个直接证明不是更方便么...为何一定要用归纳法呢