Question

高数求极限问题，高手请来指点下~

答案是e^0.5。答案应该没错，但是我算的总是1……
我算的是（1+1/x）^x=1,然后分母就是e^x,上下约分就是1了，这样做是怎么错的？
那道题的做法我知道，但是不明白我的做法为什么不对，能帮我解释下吗？谢谢了

Answer 1

原式=
lim{x->+∞}e^x/e^[x^2ln(1+1/x)]
=lim{x->+∞}e^[x-x^2ln(1+1/x)]
下面转而计算
lim{x->+∞}[x-x^2ln(1+1/x)]
=lim{t->0+}[t-ln(1+t)]/t^2
=lim{t->0+}[1-1/(1+t)]/2t 洛必达法则
=lim{t->0+}1/[2(1+t)]
=1/2

故原式=e^(1/2)

这个极限可以看做1^∞型的未定式，不能套用四则运算法则的。

e^x/(1+1/x)^x^2
=1/[(1+1/x)^x/e]^x 分母上就是1^∞型的未定式