Question

一个向量组能由另一个向量组表示 那么这两个向量组秩的关系

Answer 1

前者的秩小于后者。设向量组B的一个极大线性无关组为β1,β2,...,βr.向量组A可由B表示，设α1=a1β1+a2β2+...+arβr;α2=b1β1+b2β2+...+brβr;......αs=k1β1+k2β2+...+krβr.写成矩阵型式，即（α1，α2，...,αs）===(β1,β2,...βr)。

|a1 b1 ... k1| 

|a2 b2 ... k2|

|................|

|ar br ... kr|,记此矩阵为P，记A=（α1，α2，...,αs),B=(β1,β2,...βr),则A=BP，r(A)=r(BP)<=r（B）。

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是 A的线性无关的纵列的极大数目。类似地，行秩是 A的线性无关的横行的极大数目。

矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵 A的秩。通常表示为 rk(A) 或 rank A。

m× n矩阵的秩最大为 m和 n中的较小者。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足的。

扩展资料：

向量组的秩：在一个m维线性空间E中，一个向量组的秩表示的是其生成的子空间的维度。

考虑m× n矩阵，将A的秩定义为向量组F的秩，则可以看到如此定义的A的秩就是矩阵A的线性无关纵列的极大数目，即 A的列空间的维度(列空间是由 A的纵列生成的 F的子空间)。因为列秩和行秩是相等的，我们也可以定义 A的秩为 A的行空间的维度。

计算矩阵 A的秩的最容易的方式是高斯消去法。高斯算法生成的 A的行梯阵形式有同 A一样的秩，它的秩就是非零行的数目。

例如考虑 4 × 4 矩阵。

我们看到第 2 纵列是第 1 纵列的两倍，而第 4 纵列等于第 1 和第 3 纵列的总和。第1 和第 3 纵列是线性无关的，所以 A的秩是 2。这可以用高斯算法验证。它生成下列 A的行梯阵形式：

它有两个非零的横行。

在应用在计算机上的浮点数的时候，基本高斯消去（LU分解）可能是不稳定的，应当使用秩启示（revealing）分解。

一个有效的替代者是奇异值分解(SVD），但还有更少代价的选择，比如有支点（pivoting）的QR分解，它也比高斯消去在数值上更强壮。秩的数值判定要求对一个值比如来自 SVD 的一个奇异值是否为零的依据，实际选择依赖于矩阵和应用二者。

参考资料：百度百科---秩

Answer 2

前者的秩小于后者。设向量组B的一个极大线性无关组为β1,β2,...,βr.向量组A可由B表示，设α1=a1β1+a2β2+...+arβr;α2=b1β1+b2β2+...+brβr;......αs=k1β1+k2β2+...+krβr.写成矩阵型式，即（α1，α2，...,αs）===(β1,β2,...βr).

|a1 b1 ... k1|
|a2 b2 ... k2|
|................|
|ar br ... kr|,记此矩阵为P，记A=（α1，α2，...,αs),B=(β1,β2,...βr),则A=BP，r(A)=r(BP)<=r（B）