Question

已知函数f(x)=(ax-a-x)/(ax+a-x)(a>0且a≠1)（1）求函数f(x)的定义域和值域；（2）讨论函数f(x)的奇偶性；

已知函数f(x)=(ax-a-x)/(ax+a-x)(a>0且a≠1)（1）求函数f(x)的定义域和值域；（2）讨论函数f(x)的奇偶性；（3）讨论函数f(x)的单调性

Answer 1

(1)f(x)=(ax-a-x)/(ax+a-x)=1-2a/(ax+a-x)
ax+a-x≠0,得x≠a/(1-a)
又因为a>0且a≠1
所以x∈(-∞,1]（当a在（0，1）时，最大值为1)
f'(x)=(a+1)/(ax+a-x)^2>0，故原函数为单调增函数。
当x=1是，f(x)max=f(1)=1/(1-2a)
故f(x)∈(-∞,1/(1-2a)]
所以原函数的函数f(x)的定义域和值域分别是(-∞,1/(1-2a)]，(-∞,1]。
（2）当x=0时，f(0)=-1≠0,故不为奇函数。
f(-x)=(-ax-a+x)/(-ax+a+x)
=(ax+a-x)/(ax-a-x)
=1/f(x)
故原函数也不为偶函数
所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数。
（3）单调性在（1）里面已经说了，为单调增函数。