Question

如何证明三角形三条角平分线交于一点

Answer 1

已知△ABC中,AD,BE,CF分别是∠A,∠B,∠C的平分线。

求证：AD,BE,CF交于一点

证明：设AD与BE交于点P，则要证CF过点P,也就是要证CP平分∠C，用向量知识分析，即要证存在λ，使得向量CP=λ(向量CA/|CA|+向量CB/|CB|)

为简便起见，设|AB|=c,|BC|=a,|CA|=b.

∵AP平分∠A, BP平分∠B

∴存在λ1,λ2,使得

向量AP=λ1(向量AB/c+向量AC/b), 向量BP=λ2(向量BA/c+向量BC/a)

∵向量AB+向量BP=向量AP

∴向量AB+λ2(向量BA/c+向量BC/a)=λ1(向量AB/c+向量AC/b)

即:(1-λ2/c)向量AB+λ2/a向量BC=(λ1/c+λ1/b)向量AB+λ1/b向量BC

由平面向量基本定理，有：

1-λ2/c=λ1/c+λ1/b

λ2/a=λ1/b

消λ2，求得λ1=bc/(a+b+c)

于是向量AP=bc/(a+b+c)(向量AB/c+向量AC/b）

∴向量CP=向量CA+向量AP

=向量CA+bc/(a+b+c)(向量AB/c+向量AC/b）

=向量CA+b/(a+b+c)向量AC+b/(a+b+c)向量CB+c/(a+b+c)向量AC

=a/(a+b+c)向量CA+b/(a+b+c)向量CB

=ab/(a+b+c)(向量CA/b+向量CB/a)

这就证到了存在λ＝ab/(a+b+c），使得向量CP=λ(向量CA/b+向量CB/a)

所以AD,BE,CF交于一点．

这都是证明好了的典型题目

不懂的可以问

【第二种自己想的方法】还有一种更简单的方法

仍然是△ABC，两条角平分线是AD和BE，两角平分线的交点是P，连结PC

过P，分别向AB、BC、CA作垂线，垂足依次分别是R、S、T

则根据角平分线上一点到两边的距离相等，得

PT=PR，PR=PS

∴PT=PS

又∵Rt△CPS和Rt△CPT中PT=PS,PC=PC

利用直角三角形全等判定的HL定理，得

Rt△CPS≌Rt△CPT

∴对应角∠PCS=∠PCT

即PC平分∠ACB，

∴P是△ABC三个内角平分线的交点

即三角形的内角平分线交于一点

此法不是复制的。。

祝愉快