Question

在△ABC,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若tanAtanC+tanCtanB=2tanAtanB (1)求c^2/(a^2+b^2)的值

Answer 1

tanAtanC+tanCtanB-2tanAtanB
=(sinAsinC)/(cosAcosC)+(sinBsinC)/(cosBcosC)-2(sinAsinB)/(cosAcosB)
=0
等式两边同时乘以 cosAcosBcosC 得到
sinAsinCcosB+sinBsinCcosA-2sinAsinBcosC=0.
由正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC，所以上式又可化为
accosB+bccosA-2abcosC=0.
由余弦定理：accosB=(a^2+c^2-b^2)/2，bccosA=(b^2+c^2-a^2)/2，2abcosC=a^2+b^2-c^2，所以上式化为
(a^2+c^2-b^2)/2+(b^2+c^2-a^2)/2-(a^2+b^2-c^2)=0
即 -2a^2-2b^2+4c^2=0，所以 c^2/(a^2+b^2)=1/2.

Answer 2

两边同乘cosAcosBcosC，再由正弦定理有accosB+bccosA=2abcosC逆用余弦定理，结果为1/2