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一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）
在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸第1-8题的相应位置上．
1．27的立方根是
A． B． C． D．
2．北京奥组委和国际奥委会在新闻发布上说：“中国有8亿4千万（840000000）人观看了奥运会开幕式，这确实是一个令人惊讶的数字．” 840000000这个数字用科学记数法可表示为
A． B． C． D．
3．如果两圆半径分别为3和4，圆心距为6，那么这两圆的位置关系是
A．相交 B．内切 C．外离 D．外切
4. 在一个暗箱里，装有3个红球、5个黄球和7个绿球，它们除颜色外都相同，搅拌均匀后，从中任意摸出一个球是红球的概率是
A． B． C． D．
5．要使式子有意义，字母的取值必须满足
A． B． C． D．
6. 某校初三（1）班一组女生体重数据统计表如下：
体重（千克）
人数（人）
该组女生体重的平均数、众数、中位数分别是
A．、、 B．、、 C．、、 D．、、
7. 已知：如图，在中，是边上的一点，且，
， ，则边上的高的长为
A． B．
C． D．
8．若正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，则把每个小格的顶点叫做格点．现有一个表面积为12的正方体，沿着一些棱将它剪开，展成以格点为顶点的平面图形，下列四个图形中，能满足题意的是
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）
9．分解因式： ．
10．若关于的方程有两个相等的实根，则的值是 ．
11．三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在内（如图），则=_________°．
12．将一副三角板如图放置，则上下两块三角板面积之比:等于
________.
三、解答题（共5个小题，每小题5分，共25分）
13．计算：．
14．解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．
15．解方程：．
16．已知：如图，在菱形中，分别延长、到、，使得，
联结、．
求证：．
17．已知，求代数式的值．
四、解答题（共2个小题，每小题5分，共10分）
18．如图，等腰梯形中，，，翻折梯形，使点与点重合，折痕分别交边、于点、，若，．
（1）求的长；
（2）求的正切值．
19．已知：如图，点是⊙上一点，半径的延长线与过点的直线交于点，，．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，，求弦的长．
五、解答题（本题满分6分）
20．在我国，除夕之夜，全家一起看春节联欢晚会是人们传统的娱乐活动，尤其是小品类节目为我们带来了很多的欢乐．为了统计观众对2009年春晚小品类节目的喜好，中央电视台在网上进行了“2009年春晚我最喜爱的小品”调查问卷，并将统计结果绘制成两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：
（1）求参加调查的观众喜欢小品《暖冬》的人数占总投票人数的百分比；
（2）求参加调查的观众喜欢小品《黄豆黄》的人数并补全条形图；
（3）若北京市共有1200万人收看了春晚节目，请你估算北京市喜欢小品《不差钱》
的观众约有多少人？
（说明：A：《吉祥三宝》；B：《黄豆黄》；C：《水下除夕夜》；
D：《北京欢迎你》；E：《暖冬》；F：《不差钱》）
六、解答题（共2个小题，第21题4分，第22题5分，共9分）
21．已知：如图，直角三角形的两直角边、分别在轴的正半轴和轴的负半轴上，为线段上一点，，抛物线（是常数，且）经过、两点．
（1）求出、两点的坐标（可用含的代数式表示）；
（2）若的面积为，求的值．
22．在数学小组活动中，小聪同学出了这样一道“对称跳棋”题：如图，在作业本上画一条直线，在直线两边各放一粒跳棋子、，使线段长厘米，并关于直线对称，在图中处有一粒跳棋子，距点厘米、与直线的距离厘米，按以下程序起跳：第次，从点以为对称中心跳至点；第次，从点以为对称轴跳至点；第次，从点以为对称中心跳至点；第次，从点以为对称轴跳至点．
（1）画出跳棋子这次跳过的路径并标注出各点字母（画图工具不限）；
（2）棋子按上述程序跳跃次后停下，假设，，，计算这时它与
点的距离．
七、解答题（本题满分7分）
23．两个反比例函数和（）在第一象限内的图象如图所示，动点在的图象上，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．
（1）求证：四边形的面积是定值；
（2）当时，求的值；
（3）若点的坐标为（，），、的面积分别记为、，设．
①求的值；
②当为何值时，有最大值，最大值为多少？
八、解答题（本题满分7分）
24．已知：如图，半圆的直径，在中，，，．半圆以每秒的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上．设运动时间为（秒），当（秒）时，半圆在的左侧，．
（1）当为何值时，的一边所在直线与半圆所在的圆相切？
（2）当的一边所在直线与半圆所在的圆相切时，如果半圆与直线围成的区域与三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．
九、解答题（本题满分8分）
25．已知：如图（1），射线射线，是它们的公垂线，点、分别在、上运动（点与点不重合、点与点不重合），是边上的动点（点与、不重合），在运动过程中始终保持，且．
（1）求证：∽；
（2）如图（2），当点为边的中点时，求证：；
（3）设，请探究：的周长是否与值有关？若有关，请用含有的代数式表示的周长；若无关，请说明理由．
石景山区2009年初三第一次统一练习暨毕业考试
数学试卷参考答案及评分标准
阅卷须知：
1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅．
2．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8
答 案 B D A C B A D A
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）
题 号 9 10 11 12
答 案 （或）
三、解答题（共5个小题，每小题5分，共25分）
13. 解：
…………………………………3分
． …………………………………5分
14. 解：由不等式，得． …………………………………1分
由不等式，得． …………………………………2分
∴ 原不等式组的解集是． …………………………………3分
在数轴上表示为：
…………………………………5分
15. 解：去分母，得
． …………………………………2分
去括号，整理，得
．
解得 ． …………………………………4分
经检验，是原方程的根． …………………………………5分
所以，原方程的根为．
16．证明：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ ，．
∴ ． …………………2分
在和中，
∴ ≌． …………………………………4分
∴ ． …………………………………5分
17．解：
． …………………………………3分
∵ ，
∴ ．
即 ． …………………………………5分
四、解答题（共2个小题，每小题5分，共10分）
18. 解：（1）由题意得≌，所以，．
∵ 在中，，，
∴ ．
∴ ．即． …………………………………1分
在等腰梯形中，，，∴ ．
∴ ． …………………………………3分
（2）由（1）得，．
在中，，，，
所以，． …………………………………5分
19.（1）证明：如图，联结． …………………………………1分
∵ ，，
∴ ．
∴ 是等边三角形．
∴ ，．
∴ ．
∴ ． …………………………………2分
所以，是⊙的切线． …………………………………3分
（2）解：作于点．
∵ ，∴ ．
又，，所以在中，．
在中，∵ ，∴ ．
由勾股定理，可求．
所以，． …………………………………5分
五、解答题（本题满分6分）
20. 解：
（1）10%． ……………………2分
（2）340人，见右图．……………………4分
（3）约660万人． ……………………6分
六、解答题（共2个小题，第21题4分，第22题5分，共9分）
21. 解：（1）在抛物线中，令，得，
解得或（）．所以，，．
∵ ，∴ ．
所以，点的坐标为（，0）， …………………………………1分
点的坐标为（，）． …………………………………2分
（2）的面积，所以，当时，．
…………………………………4分
22. 解：（1）跳棋子跳过路径及各点字母如图．
………………3分
（2）跳跃15次后，停在处，
过作，垂足为点，
则；
由，∴ ．
…………………………………5分
七、解答题（本题满分7分）
23．（1）证明：设，，，与的面积分别为，，矩形的面积为．
由题意，得 ，，．
∴ ，，．
∴ ．
∴ 四边形的面积是定值． …………………………………2分
（2）解：由（1）可知，则．
又∵ ，
∴ ．
∵ ，，
∴ ．
∴ ． …………………………………4分
（3）解：①由题意知：． …………………………………5分
②、两点坐标分别为，，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ 当时，有最大值． …………………………………7分
八、解答题（本题满分7分）
24．解：（1）如图（1），当时，的边与⊙相切；
如图（2），当时，的边与⊙相切；
如图（3），当时，的边与⊙相切；
如图（4），当时，的边所在直线与⊙相切．
…………………………………4分
（2）由（1），可知，当和时，半圆与直线围成的区域与
三边围成的区域有重叠部分，如图（2）、（3）的阴影部分所示，重叠部分的面积分别为和．
…………………………………7分
九、解答题（本题满分8分）
25．（1）证明：∵ ，∴ ．∴ ．
又∵ ，∴ ．
∴ ．∴ ∽． …………………………………2分
（2）证明：如图，过点作，交于点，
∵ 是的中点，容易证明．
在中，∵ ，∴ ．
∴ ．
∴ ． …………………………………5分
（3）解：的周长，．
设，则．
∵ ，∴ ．即．
∴ ．
由（1）知∽，
∴ ．
∴ 的周长的周长．
∴ 的周长与值无关． …………………………………8分
一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）
在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸第1-8题的相应位置上．
1．27的立方根是
A． B． C． D．
2．北京奥组委和国际奥委会在新闻发布上说：“中国有8亿4千万（840000000）人观看了奥运会开幕式，这确实是一个令人惊讶的数字．” 840000000这个数字用科学记数法可表示为
A． B． C． D．
3．如果两圆半径分别为3和4，圆心距为6，那么这两圆的位置关系是
A．相交 B．内切 C．外离 D．外切
4. 在一个暗箱里，装有3个红球、5个黄球和7个绿球，它们除颜色外都相同，搅拌均匀后，从中任意摸出一个球是红球的概率是
A． B． C． D．
5．要使式子有意义，字母的取值必须满足
A． B． C． D．
6. 某校初三（1）班一组女生体重数据统计表如下：
体重（千克）
人数（人）
该组女生体重的平均数、众数、中位数分别是
A．、、 B．、、 C．、、 D．、、
7. 已知：如图，在中，是边上的一点，且，
， ，则边上的高的长为
A． B．
C． D．
8．若正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，则把每个小格的顶点叫做格点．现有一个表面积为12的正方体，沿着一些棱将它剪开，展成以格点为顶点的平面图形，下列四个图形中，能满足题意的是
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）
9．分解因式： ．
10．若关于的方程有两个相等的实根，则的值是 ．
11．三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在内（如图），则=_________°．
12．将一副三角板如图放置，则上下两块三角板面积之比:等于
________.
三、解答题（共5个小题，每小题5分，共25分）
13．计算：．
14．解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．
15．解方程：．
16．已知：如图，在菱形中，分别延长、到、，使得，
联结、．
求证：．
17．已知，求代数式的值．
四、解答题（共2个小题，每小题5分，共10分）
18．如图，等腰梯形中，，，翻折梯形，使点与点重合，折痕分别交边、于点、，若，．
（1）求的长；
（2）求的正切值．
19．已知：如图，点是⊙上一点，半径的延长线与过点的直线交于点，，．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，，求弦的长．
五、解答题（本题满分6分）
20．在我国，除夕之夜，全家一起看春节联欢晚会是人们传统的娱乐活动，尤其是小品类节目为我们带来了很多的欢乐．为了统计观众对2009年春晚小品类节目的喜好，中央电视台在网上进行了“2009年春晚我最喜爱的小品”调查问卷，并将统计结果绘制成两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：
（1）求参加调查的观众喜欢小品《暖冬》的人数占总投票人数的百分比；
（2）求参加调查的观众喜欢小品《黄豆黄》的人数并补全条形图；
（3）若北京市共有1200万人收看了春晚节目，请你估算北京市喜欢小品《不差钱》
的观众约有多少人？
（说明：A：《吉祥三宝》；B：《黄豆黄》；C：《水下除夕夜》；
D：《北京欢迎你》；E：《暖冬》；F：《不差钱》）
六、解答题（共2个小题，第21题4分，第22题5分，共9分）
21．已知：如图，直角三角形的两直角边、分别在轴的正半轴和轴的负半轴上，为线段上一点，，抛物线（是常数，且）经过、两点．
（1）求出、两点的坐标（可用含的代数式表示）；
（2）若的面积为，求的值．
22．在数学小组活动中，小聪同学出了这样一道“对称跳棋”题：如图，在作业本上画一条直线，在直线两边各放一粒跳棋子、，使线段长厘米，并关于直线对称，在图中处有一粒跳棋子，距点厘米、与直线的距离厘米，按以下程序起跳：第次，从点以为对称中心跳至点；第次，从点以为对称轴跳至点；第次，从点以为对称中心跳至点；第次，从点以为对称轴跳至点．
（1）画出跳棋子这次跳过的路径并标注出各点字母（画图工具不限）；
（2）棋子按上述程序跳跃次后停下，假设，，，计算这时它与
点的距离．
七、解答题（本题满分7分）
23．两个反比例函数和（）在第一象限内的图象如图所示，动点在的图象上，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．
（1）求证：四边形的面积是定值；
（2）当时，求的值；
（3）若点的坐标为（，），、的面积分别记为、，设．
①求的值；
②当为何值时，有最大值，最大值为多少？
八、解答题（本题满分7分）
24．已知：如图，半圆的直径，在中，，，．半圆以每秒的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上．设运动时间为（秒），当（秒）时，半圆在的左侧，．
（1）当为何值时，的一边所在直线与半圆所在的圆相切？
（2）当的一边所在直线与半圆所在的圆相切时，如果半圆与直线围成的区域与三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．
九、解答题（本题满分8分）
25．已知：如图（1），射线射线，是它们的公垂线，点、分别在、上运动（点与点不重合、点与点不重合），是边上的动点（点与、不重合），在运动过程中始终保持，且．
（1）求证：∽；
（2）如图（2），当点为边的中点时，求证：；
（3）设，请探究：的周长是否与值有关？若有关，请用含有的代数式表示的周长；若无关，请说明理由．
石景山区2009年初三第一次统一练习暨毕业考试
数学试卷参考答案及评分标准
阅卷须知：
1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅．
2．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8
答 案 B D A C B A D A
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）
题 号 9 10 11 12
答 案 （或）
三、解答题（共5个小题，每小题5分，共25分）
13. 解：
…………………………………3分
． …………………………………5分
14. 解：由不等式，得． …………………………………1分
由不等式，得． …………………………………2分
∴ 原不等式组的解集是． …………………………………3分
在数轴上表示为：
…………………………………5分
15. 解：去分母，得
． …………………………………2分
去括号，整理，得
．
解得 ． …………………………………4分
经检验，是原方程的根． …………………………………5分
所以，原方程的根为．
16．证明：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ ，．
∴ ． …………………2分
在和中，
∴ ≌． …………………………………4分
∴ ． …………………………………5分
17．解：
． …………………………………3分
∵ ，
∴ ．
即 ． …………………………………5分
四、解答题（共2个小题，每小题5分，共10分）
18. 解：（1）由题意得≌，所以，．
∵ 在中，，，
∴ ．
∴ ．即． …………………………………1分
在等腰梯形中，，，∴ ．
∴ ． …………………………………3分
（2）由（1）得，．
在中，，，，
所以，． …………………………………5分
19.（1）证明：如图，联结． …………………………………1分
∵ ，，
∴ ．
∴ 是等边三角形．
∴ ，．
∴ ．
∴ ． …………………………………2分
所以，是⊙的切线． …………………………………3分
（2）解：作于点．
∵ ，∴ ．
又，，所以在中，．
在中，∵ ，∴ ．
由勾股定理，可求．
所以，． …………………………………5分
五、解答题（本题满分6分）
20. 解：
（1）10%． ……………………2分
（2）340人，见右图．……………………4分
（3）约660万人． ……………………6分
六、解答题（共2个小题，第21题4分，第22题5分，共9分）
21. 解：（1）在抛物线中，令，得，
解得或（）．所以，，．
∵ ，∴ ．
所以，点的坐标为（，0）， …………………………………1分
点的坐标为（，）． …………………………………2分
（2）的面积，所以，当时，．
…………………………………4分
22. 解：（1）跳棋子跳过路径及各点字母如图．
………………3分
（2）跳跃15次后，停在处，
过作，垂足为点，
则；
由，∴ ．
…………………………………5分
七、解答题（本题满分7分）
23．（1）证明：设，，，与的面积分别为，，矩形的面积为．
由题意，得 ，，．
∴ ，，．
∴ ．
∴ 四边形的面积是定值． …………………………………2分
（2）解：由（1）可知，则．
又∵ ，
∴ ．
∵ ，，
∴ ．
∴ ． …………………………………4分
（3）解：①由题意知：． …………………………………5分
②、两点坐标分别为，，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ 当时，有最大值． …………………………………7分
八、解答题（本题满分7分）
24．解：（1）如图（1），当时，的边与⊙相切；
如图（2），当时，的边与⊙相切；
如图（3），当时，的边与⊙相切；
如图（4），当时，的边所在直线与⊙相切．
…………………………………4分
（2）由（1），可知，当和时，半圆与直线围成的区域与
三边围成的区域有重叠部分，如图（2）、（3）的阴影部分所示，重叠部分的面积分别为和．
…………………………………7分
九、解答题（本题满分8分）
25．（1）证明：∵ ，∴ ．∴ ．
又∵ ，∴ ．
∴ ．∴ ∽． …………………………………2分
（2）证明：如图，过点作，交于点，
∵ 是的中点，容易证明．
在中，∵ ，∴ ．
∴ ．
∴ ． …………………………………5分
（3）解：的周长，．
设，则．
∵ ，∴ ．即．
∴ ．
由（1）知∽，
∴ ．
∴ 的周长的周长．
∴ 的周长与值无关． …………………………………8分
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