Question

有点难的二次函数

设p是实数，二次函数y=x^2-2px-p的图像与x轴有两个不同的交点A(m,o),B(n,0).
(1)求证：2pm+n^2+3p大于0；
(2)如果A,B两点之间的距离不超过（2p-3)的绝对值，求p的最大值

Answer 1

因为A和B都是在X轴上的，因此有：
m^2-2pm-p=0
n^2-2pn-p=0

又有：m+n=-2p,mn=-p
Δ=4p^2+4p>0

2pm+n^2+3p
=(n^2-2pn-p)+2p(m+n)+4p
=0+2p*2p+4p
=4p^2+4p>0

=>2pm+n^2+3p>0
原题得证.

(2).
AB的距离=|m-n|

又（m-n)^2
=(m+n)^2-4mn
=4p^2+4p

若|m-n|<=|2p-3|,
则（m-n)^2<=(2p-3)^2
=>4p^2+4p<=(2p-3)^2
=>16p<=9
=>p<=9/16 （i）

又Δ=4p^2+4p>0
=>p>0或p<-1 (ii)

综合（i)(ii)=>
p<=9/16,因此p的最大值是9/16

Answer 2

m+n=2p
m*n=-p
故2pm+n^2+3p=m(m+n)+n^2-3mn=m^2-2mn+n^2=(m-n)^2
因m≠n，故(m-n)^2>0

|AB|=|m-n|
AB^2=(m-n)^2=(m+n)^2-4mn=4p^2+4p
(2p-3)^2=4p^2-12p+9
故0<4p^2+4p≤4p^2-12p+9
解得0<p≤9/16或p<-1
故p最大为9/16