Question

求微积分高手解答： （求详细过程）

Answer 1

第1题：
x²+y²=ax（假定a>0），(x-a/2)²+y²=(a/2)²
此方程也表示圆柱面与xOy平面的交线，其参数方程是r=acosθ
所求面积是对称的，S[总]=2S[上]（[]表示下标，下同）
对上半部分，z=√(a²-x²-y²)，dS=√[1+(∂z/∂x)²+(∂z/∂y)²]dxdy=a/√(a²-x²-y²)*dxdy
S[上]=∫∫[Dxy]a/√(a²-x²-y²)*dxdy
=∫∫[Dxy]a/√(a²-r²)*rdrdθ
=∫[-π/2,π/2]adθ∫[0,acosθ]rdr/√(a²-r²)
=∫[-π/2,π/2]adθ∫[0,acosθ](-1/2)*(a²-r²)^(-1/2)*d(a²-r²)
=∫[-π/2,π/2]adθ*[(-1/2)*2*(a²-r²)^(1/2)]|[0,acosθ]
=∫[-π/2,π/2]adθ*[-√(a²-r²)]|[0,acosθ]
=∫[-π/2,π/2]a(a-a|sinθ|)dθ
=a²∫[-π/2,π/2](1-|sinθ|)dθ
=2a²∫[0,π/2](1-sinθ)dθ
=2a²*(θ+cosθ)|[0,π/2]
=2a²*[(π/2+0)-(0+1)]
=2a²*(π/2-1)
=(π-2)a²
S[总]=2S[上]=2*(π-2)a²=(2π-4)a²

第2题：
设所围成的图形在z²=4ax(a>0)上的面积为S[1]，在x²+y²=ax(a>0)上的面积为S[2]
z=z(x,y)=2√(ax)，∂z/∂x=√(a/x)
dS=√[1+(∂z/∂x)²+(∂z/∂y)²]dxdy=√(1+a/x)dxdy
x²+y²=ax，y=±√(ax-x²)
S[1]=2∫∫[Dxy]√(1+a/x)dxdy
=2*2∫[0,a]√(1+a/x)dx∫[0,√(ax-x²)]dy
=4∫[0,a]√(1+a/x)*√(ax-x²)dx
=4∫[0,a]√[(1+a/x)*(ax-x²)]dx
=4∫[0,a]√(a²-x²)dx
=4*(1/4)πa²
=πa²

x²+y²=ax，不妨设y>0，y=y(x,z)=√(ax-x²)，∂y/∂x=(a-2x)/[2√(ax-x²)]
dS=√[1+(∂y/∂x)²+(∂y/∂z)²]dxdz=a/[2√(ax-x²)]dxdz
S[2]=2∫∫[Dxz]a/[2√(ax-x²)]dxdz
=2*2∫[0,a]a/[2√(ax-x²)]dx∫[0,2√(ax)]dz
=4∫[0,a]a/[2√(ax-x²)]*2√(ax)dx
=4∫[0,a](a√a)/√(a-x)dx
=-4*a^(3/2)∫[0,a](a-x)^(-1/2)*d(a-x)
=-4*a^(3/2)*[2*(a-x)^(1/2)]|[0,a]
=-4*a^(3/2)*(0-2√a)
=8a²

S[总]=S[1]+S[2]=πa²+8a²=(π+8)a²

回答完毕，谢谢！