Question

三道高一数学题

一.已知正数a，b，c成等比数列，x，y，z成等差数列，求证：（y-z）lga+(z-x)lgb+(x-y)lgc=0
还有两道发图吧，请横着看+_+，有点难看，我错了。。。

Answer 1

一、
∵x，y，z成等差数列
∴设公差为d，则y-z=-d,z-x=2d,x-y=-d
则原方程可化为(d*lga=lg(a^d) 这个楼主懂吧）
lg（a^-d)+lg(b^2d)+lg(c^-d)=0
lg[(a^-d)(b^2d)(c^-d)]=0
即(b^2d)/[(ac）^d]=1(只要这个式子成立，证明就完成了）
∵正数a，b，c成等比数列
∴ac=b^2
代入得(b^2d)/(b^2d)=1
这个显然易见是成立的
∴（y-z）lga+(z-x)lgb+(x-y)lgc=0
二、
将四边形对边中点连接，交点即为P。
证明也非常简单（向量的箭头我就偷点懒不打了）
由平行四边形定则易知
向量PA+PD必定经过AD中点
同理向量PB+PC必定经过BC中点
要使(PA+PD)+(PB+PC)=0
则PA+PD PB+PC要共线
所以P点在AD,BC中点的连线上
同理P点也在AB,CD中点的连线上
所以P点是唯一并且存在的。
三、楼主配合着图看吧
由题目可知，只要证明MN=n*NC 即可
NC=ND+DC MN=MB+BN
由平行四边形的性质可知
DC=2MB 而且题目说了3BN=BD=BN+ND
所以2BN=ND
代入就可知NC=2MN
所以MNC三点共线

打得那么辛苦，楼主给分啊

Answer 2

1、

ac=b²，x+z=2y

∴左边

=(y-z)lga+(z-x)lgb+(y-z)lgc

=(y-z)lg(ac)+(z-x)lgb

=(y-z)lgb²+(z-x)lgb

=(2y-z-x)lgb

=0*lgb

=0

2、

设E、F、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点，

我直接用PA表示向量PA，也就是说下边我的字母都有方向性

则(PA+PB)+(PC+PD)=2PE+2PM=0，则E、P、M共线

(PB+PC)+(PA+PD)=2PF+2PN=0，则F、P、N共线

∴存在这样的P点，位置是两组对边中点连线的交点

此题中即是EM和FN的交点

3、

证明：

我还是直接用MN表示向量MN，即所有字母带有方向性

MN=MB+BN=(1/2)AB+(1/3)BD

CN=CD+DN=CD+(2/3)DB=-[AB+(2/3)BD]=-2*[(1/2)AB+(1/3)BD]=-2MN

又∵CN和MN共点N

∴M、N、C三点共线

得证

谢谢

Answer 3

（2）该点在两组对边中点连线的交点