Question

设f(x),g(x)为连续函数 x属于[a,b] 证明函数 h(x)=max{f(x),g(x)}和p(x)=min{f(x),g(x)}也都是 连续函数

Answer 1

(1)设x0为区间上任一点
(a) 若f(x0)不等于g(x0),
不妨设f(x0)>g(x0)
由于连续性，存在x0的一个小邻域，在其中有
f(x)>=g(x).此时h(x)=f(x),故此h(x)在x0处连续。
(b)若f(x0)=g(x0),由于连续性，对于任意小的正数s,存在x0的一个小邻域，
使：|f(x)-f(x0)|<s,
|g(x)-g(x0)|<s.
此时|h(x)-h(x0)|<=
max{|f(x)-f(x0)|,|g(x)-g(x0)|<s
即h(x)在x0处连续。
综合二者，命题得证

同理可证p(x)的连续性。