Question

数列题急啊！！！

设数列An的前n项和Sn,且A1+2A2+2A3…+nAn=(n-1)Sn+2n取出数列An中的第1项，第4项，第7项，……第3n-2项，然后余下的顺序不变，组成新数列Cn，若Cn的前n项和为Tn，求证12/5< T[n+1]/Tn <=11/3

Answer 1

当n=1时,A1=2*1=2;
由题知：A1+2A2+2A3…+nAn=(n-1)Sn+2n…………（1）
A1+2A2+2A3…+(n-1)An-1=(n-2)Sn-1+2(n-1)……（2）
（1）-（2）: nAn=(n-1)Sn-(n-2)Sn-1+2
nSn-nSn-1=nSn-Sn-nSn-1-2Sn-1+2
Sn-2Sn-1=2
Sn=2An-2…………（3）
Sn-1=2An-1-2…………（4）
（3）-（4）： An=2A(n-1)
公比为2的等比数列
An=2^n
数列An的第n项之前被取出的3n-2项的和Pn=2(1-8^([(n-1)/3]+1))/(1-8)
【n是An的下标】([a]表示不超过a的最大整数）
由于T[n+1]/Tn 不好标下标 我们用Sn-Pn来计算
Tk=Sn-Pn=2(1-2^n)/(1-2)-2(1-8^([(n-1)/3]+1))/(1-8)
当n=3m(m≥1)的形式时，
化简T[k+1]/Tk=(Sn+2-Pn+2)/(Sn-Pn)=(10*8^m-3)/(3*8^m-3)∈(10/3,11/3]
当n=3m-1(m≥1)的形式时，
化简T[k+1]/Tk=(Sn+1-Pn+1)/(Sn-Pn)=(12*8^m-12)/(5*8^m-12)∈(12/5,3]
所以T[k+1]/Tk∈(12/5,11/3]