Question

大神~帮忙解这道数学题，求过程

Answer 1

(1)对曲线C1，将其参数方程平方得x²=3cos²θ+2√3sinθcosθ+sin²θ..............①
y²=3cos²θ-2√3sinθcosθ+sin²θ.............②
①+②得x²+y²=3cos²θ+2√3sinθcosθ+sin²θ+3cos²θ-2√3sinθcosθ+sin²θ=4
∴曲线C1的方程为x²+y²=4
对曲线C2，题中给出的的极坐标方程
由ρsin(θ+π/6)=1可得ρ(sinθcosπ/6+cosθsinπ/6)=1即(√3/2)ρsinθ+(1/2)ρcosθ=1
∴(√3/2)y+(1/2)x=1即x+√3y-2=0
∴曲线C2的方程为x+√3y-2=0
(2)数形结合(图没画)
由(1)求出的曲线C1和C2的方程可知直线过圆与x正半轴的交点(2，0)
C1上恰好存在3个不同点到C2的距离相等，不妨设点的坐标为(x0，y0)
数形结合分析其中有一个点一定为与C2平行的的一条切线与C1在第一象限的一个切点。
因为切线与C2平行且与C1相切，可求出切线方程为x+√3y-4=0
进而由切线方程和C1联立求出切点坐标为(1,√3)，所以切点到C2的距离d=1
那么另外两个点到C2距离也应为1
所以|x0+√3y0-2|=2...................③
x0²+y0²=4 .......................④
联立③④解得坐标为(√3,-1)或(-√3,1)
即所求的三个点的坐标为(1,√3)，(√3,-1)，(-√3,1)
再把上面三个直角坐标化为极坐标
ρ²=1+3=4 ∴ρ=2
对(1,√3)有tanθ=√3 点在第一象限 ∴θ=π/3 ∴极坐标为(2，π/3)
对(√3,-1)有tanθ=-√3/3 点在第四象限 ∴θ=11π/6 ∴极坐标为(2，11π/6)
对(-√3,1)有tanθ=-√3/3 点在第二象限 ∴θ=5π/6 ∴极坐标为(2，5π/6)