Question

一道高中数学问题

已知向量a=(-根号3sin wx,cos wx),向量b=(cos wx,cos wx),w>0,记函数f(x)=向量a*向量b+1/2，图像两相邻对称轴的距离为π/4
1。求ω
2。若x属于（7/24π，5/12π）时，f（x）=-3/5，求cos4x值
3.若cosX≥1/2，X属于（0，π），且F(X)=m且只有一个实根，求m值
更正一下向量b=(cos wx,-cos wx), a=(根号3sin wx,cos wx),

Answer 1

1. 由向量点积得 f(x)=sqrt(3)sin(wx)cos(wx)-cos(wx)^2+1/2
=sqrt(3)/2*sin(2wx)-cos(2wx)/2=sin(2wx-π/6).
图像两相邻对称轴的距离为π/4说明最小正周期为π/4，即2π/2w=π/4==>w=4.
2. f(x)=sin(8x-π/6).
若x属于(7π/24，5π/12)时，则4x属于(7π/6，5π/3)，在第三四象限。
令cos4x=t，有sin4x=-sqrt(1-t^2)。
由 -sqrt(3)sqrt(1-t^2)t-t^2+1/2=-3/5
==> t=sqrt(15)/5-sqrt(5)/10, 或 sqrt(15)/5+sqrt(5)/10。
3. 若cosX≥1/2，X属于(0,π)，则X属于(0,π/3], 8x-π/6属于(-π/6,5π/2].
f(X)=m只有一个实根说明m是sin(8X-π/6)最值，m=1或-1.
又 sin(8X-π/6)=1==>8X-π/6=π/2或5π/2==>X=π/12或π/3，矛盾。
sin(8X-π/6)=-1==>8X-π/6=3π/2==>X=5π/24.
故m=-1满足要求。