Question

求解，几道高一数学题

1.扇形的周长为定值c，问该扇形具有怎样的中心角时面积最大。

2.已知y=a-bcos3x(b>0)的最大值为3/2，最小值为-1/2。求函数y=-4asin(3bx)的周期、最值，并求取得最值时的x。

3.已知函数f(x)=sin4(次方)x+cos2（次方）x，若f(x)有解，求实数a的取值范围。

4.求函数y=(sinx+根号2）（cosx+根号2）的最大值和最小值。

5.在锐角三角形ABC中，sinA=2根号2/3，求sin2(次方)（B+C）/2+cos(3π-2A）的值。

Answer 1

1、设圆心角为x(弧度),半径r
周长2r+xr=c==>r=c/(2+x)
扇形面积S=x*r^2/2= xc^2/[2(2+x)^2]
设f(x)=c^2/2*x/(2+x)^2
令F’(x)=c^2/2*[-x^2+4)]/(2+x)^4=0==>x1=-2(舍)，x2=2
f(2)=c^2/16
∴圆心角为2弧度，时，扇形面积面积最大，为c^2/16

2、设f(x)=a-bcos3x
F’(x)=3bsin3x=0==>x1=2kπ/3, x2=(2k+1)π/3
f(2kπ/3)=a-bcos(2kπ)=a-b=-1/2
f((2k+1)π/3)=a-bcos((2k+1)π)=a+b=3/2
二者联立解 得a=1/2,b=1
函数y=-4asin(3bx)=-2sin3x
最小正周期：T=2π/3.
令y’=-6cos3x=0==>x1=2kπ/3-π/6, x2=2kπ/3+π/6
当x=(4k+1)π/6时，函数取最小值-2,
当x=(4k-1)π/6时，函数取最大值2

3、函数中不含a,如何求a的范围？

4、函数f(x)=(sinx+√2)(cosx+√2)
F’(x)=cosx(cosx+√2)-sinx(sinx+√2)
=(cosx)^2-(sinx)^2+√2(cosx- sinx)=(cosx-sinx)(cosx+sinx+√2)=0
cosx-sinx=0解得x1=2kπ+π/4,x2=(2k+1)π+π/4
cosx+sinx+√2=0,解得x=(2k+1)π+π/4
f(π/4)=(3√2/2)(3√2/2)=9/2
f(5π/4)=(√2/2)(√2/2)=1/2
∴当x1=2kπ+π/4时，函数f(x)取极大值9/2；
当x1=2kπ+π/4时，函数f(x)取极小值1/2；

4、在锐角三角形ABC中:
∵sinA=2√2/3,∴cosA=1/3
{sin[(B+C)/2]}^2+cos(3π-2A)
=[1-cos(B+C)]/2+cos(π-2A)
=(1+cosA)/2-cos2A=(1+cosA)/2-1+2(sinA)^2
=2/3-1+16/9=16/9-1/3=13/9

Answer 2

1、
设中心角为x(弧度)
2r+xr=a
面积就是x*r^2/2

通过第一个方程解出x=a/r-2
代入第二个得(ar-2r^2)/2
求导a-4r=0时，面积最大，即x=2

2、
易知，a+b=3/2,
a-b=-1/2.
===>a=1/2,b=1.
故y=-2sin3x.
T=2π/3.
当x=(4k+1)π/6时，ymin=-2,
当x=(4k-1)π/6时，ymax=2

3、题目有错误

4、
因为(sinx+cosx)^2=1+2sinxcosx
sinxcosx=[(sinx+cosx)^2-1]/2
令sinx+cosx=t t=√2sin(x+π/4) -√2≤t≤√2
f(x)=(sinx+√2)(cosx+√2)
=sinxcosx+√2(sinx+cosx)+2
=(t^2-1)/2+√2t+2
=t^2/2+√2t+3/2
=1/2(t+√2)^2+1/2
对称轴t=-√2
y在[-√2,√2]上单调递增
t=-√2 最小值y=1/2
t=√2 最大值y=9/2

4、
{sin[(B+C)/2]}^2+cos(3π-2A)
=[1-cos(B+C)]/2+cos(π-2A)
=(1+cosA)/2-cos2A
=2(sinA)^2-1+(1/2)√[1-(sinA)^2]+1/2
=2(2√2/3)^2+(1/2)√[1-(2√2/3)^2]-1/2
=16/9+(1/2)√(1-8/9)-1/2
=16/9+1/6-1/2
=14/9.