Question

已知2次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点（-1,0），问是否存在常数a,b,c，使于不等式x小于等Y小于等于1/2（1+x

已知2次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点（-1,0），问是否存在常数a,b,c，使于不等式x小于等Y小于等于1/2（1+x^2)对一切x属于实数都陈立

Answer 1

x≤ax＾+bx+c≤1/2×(1+x＾2)

对于一切实数成立,分开写
（a-1/2）x^2+bx+(c-1/2)≤0.....(1)
ax^2+(b-1)+c≥0........(2)

要求对一切实数等成立,那么对于（1）得到：
a-1/2<0,
Δ≤0........(3)

对于(2)
a>0,Δ≤0
y=ax^2+bx+c，
过点（-1，0）
a-b+c=0
0<a<1/2
b^2-4(a-1/2)(c-1/2)≤0.....(3)
(b-1)^2-4ac≤0.............(4)

(3):
(a+c)^2-4(a-1/2)(c-1/2)≤0
(a-c)^2+2a+2c-1≤0.........(5)

(4):
(a+c-1)^2-4ac≤0
(a-c)^2-2a-2c+1≤0.........(6)
(5)+(6)

2(a-c)^2≤0,则：a=c........(7)
(7)带入到（4）
(b-1)^2≤4ac=4a^2<4*1/4=1

-1<b-1<1
0<b<2,

存在这样的实数abc，
a=c∈（0，1/2）,b∈（0，2）

Answer 2

y=ax^2+bx+c过点（-1,0），==>a-b+c=0 ==> b=a+c.
x=<y=<(1+x^2)/2即2次函数y的图形夹在直线y=x和抛物线y=(1+x^2)/2之间, 有a>0.
又y=x和y=(1+x^2)/2相切于点(1,1), 故y=ax^2+bx+c和y=x也相切于点(1,1).
==> a+b+c=1，且f'(1)=2a+b=1(2次函数在切点处的斜率为1) .
==> b=1/2, a=c=1/4.
于是，y=(x^2+2x+1)/4满足所求。