已知2次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点(-1,0),问是否存在常数a,b,c,使于不等式x小于等Y小于等于1/2(1+x
已知2次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点(-1,0),问是否存在常数a,b,c,使于不等式x小于等Y小于等于1/2(1+x^2)对一切x属于实数都陈立...
已知2次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点(-1,0),问是否存在常数a,b,c,使于不等式x小于等Y小于等于1/2(1+x^2)对一切x属于实数都陈立
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x≤ax^+bx+c≤1/2×(1+x^2)
对于一切实数成立,分开写
(a-1/2)x^2+bx+(c-1/2)≤0.....(1)
ax^2+(b-1)+c≥0........(2)
要求对一切实数等成立,那么对于(1)得到:
a-1/2<0,
Δ≤0........(3)
对于(2)
a>0,Δ≤0
y=ax^2+bx+c,
过点(-1,0)
a-b+c=0
0<a<1/2
b^2-4(a-1/2)(c-1/2)≤0.....(3)
(b-1)^2-4ac≤0.............(4)
(3):
(a+c)^2-4(a-1/2)(c-1/2)≤0
(a-c)^2+2a+2c-1≤0.........(5)
(4):
(a+c-1)^2-4ac≤0
(a-c)^2-2a-2c+1≤0.........(6)
(5)+(6)
2(a-c)^2≤0,则:a=c........(7)
(7)带入到(4)
(b-1)^2≤4ac=4a^2<4*1/4=1
-1<b-1<1
0<b<2,
存在这样的实数abc,
a=c∈(0,1/2),b∈(0,2)
对于一切实数成立,分开写
(a-1/2)x^2+bx+(c-1/2)≤0.....(1)
ax^2+(b-1)+c≥0........(2)
要求对一切实数等成立,那么对于(1)得到:
a-1/2<0,
Δ≤0........(3)
对于(2)
a>0,Δ≤0
y=ax^2+bx+c,
过点(-1,0)
a-b+c=0
0<a<1/2
b^2-4(a-1/2)(c-1/2)≤0.....(3)
(b-1)^2-4ac≤0.............(4)
(3):
(a+c)^2-4(a-1/2)(c-1/2)≤0
(a-c)^2+2a+2c-1≤0.........(5)
(4):
(a+c-1)^2-4ac≤0
(a-c)^2-2a-2c+1≤0.........(6)
(5)+(6)
2(a-c)^2≤0,则:a=c........(7)
(7)带入到(4)
(b-1)^2≤4ac=4a^2<4*1/4=1
-1<b-1<1
0<b<2,
存在这样的实数abc,
a=c∈(0,1/2),b∈(0,2)
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y=ax^2+bx+c过点(-1,0),==>a-b+c=0 ==> b=a+c.
x=<y=<(1+x^2)/2即2次函数y的图形夹在直线y=x和抛物线y=(1+x^2)/2之间, 有a>0.
又y=x和y=(1+x^2)/2相切于点(1,1), 故y=ax^2+bx+c和y=x也相切于点(1,1).
==> a+b+c=1,且f'(1)=2a+b=1(2次函数在切点处的斜率为1) .
==> b=1/2, a=c=1/4.
于是,y=(x^2+2x+1)/4满足所求。
x=<y=<(1+x^2)/2即2次函数y的图形夹在直线y=x和抛物线y=(1+x^2)/2之间, 有a>0.
又y=x和y=(1+x^2)/2相切于点(1,1), 故y=ax^2+bx+c和y=x也相切于点(1,1).
==> a+b+c=1,且f'(1)=2a+b=1(2次函数在切点处的斜率为1) .
==> b=1/2, a=c=1/4.
于是,y=(x^2+2x+1)/4满足所求。
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